Konvergenz in Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien $X$ und [mm] $X_n, n\ge [/mm] 1$, Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in [mm] $\IZ$. [/mm] Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) [mm] $X_n\rightarrow [/mm] X$ in Verteilung für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
(ii) [mm] $P(X_n=k)\rightarrow [/mm] P(X=k)$ für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] und alle [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
[mm] (iii)$\sum_{k\in\IZ}\left| P(X_n=k)-P(X=k) \right|\rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] |
Hallo Zusammen!
Also Konvergenz in Verteilung bedeutet für eine diskrete Zufallsvariable doch:
[mm] $P(X_n\le k)\rightarrow P(X\le [/mm] k)$ also [mm] $\sum_{i=1}^{k}P(X_n=i)\rightarrow\sum_{i=1}^{k}P(X=i)$. [/mm] Das wären aber doch schon fast die Aussagen, also gibt es wohl ein Problem mit der Unstetigkeit in den k? Und folgt aus (ii) nicht immer (iii)? Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.
Grüße
couldbeworse
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
> Also Konvergenz in Verteilung bedeutet für eine diskrete Zufallsvariable doch:
>
> [mm]P(X_n\le k)\rightarrow P(X\le k)[/mm] also
> [mm]\sum_{i=1}^{k}P(X_n=i)\rightarrow\sum_{i=1}^{k}P(X=i)[/mm].
Ob es das bei euch tut, kann dir nur dein Skript beantworten.
Also: Wie habt ihr Konvergenz in Verteilung definiert?
> Und folgt aus (ii) nicht immer (iii)?
Natürlich, sonst solltest du es ja nicht zeigen.
Du meinst aber das Falsche, denn deine gemeinte Folgerung aus [mm] $a_k \to [/mm] a$ folgt [mm] $\summe_{k\in\IN} |a_k [/mm] - a| = 0$ ist im Allgemeinen eben falsch.
Nimm bspw. [mm] $a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}$
[/mm]
Dazu benötigst du noch eine Zusatzvoraussetzung, die hier aber gegeben ist. Diese wird dir vielleicht klarer, wenn man die Aussage umschreibt in:
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{k\in\IZ}\left| P(X_n=k)-P(X=k) \right| [/mm] = 0 = [mm] \sum_{k\in\IZ}\lim_{n\to\infty} \left| P(X_n=k)-P(X=k) \right| [/mm] $
Du vertauschst also einen Grenzwert mit der Reihe.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für deine Antwort!
> Ob es das bei euch tut, kann dir nur dein Skript
> beantworten.
> Also: Wie habt ihr Konvergenz in Verteilung definiert?
Wir haben als allgemeine Definition: [mm] $X_n\rightarrow [/mm] X$ in Verteilung, falls für die Verteilungsfunktionen in allen Stetigkeitspunkten [mm] $t\in\IR$ [/mm] von $F$ gilt: [mm] $F_n(t)\rightarrow [/mm] F(t)$ für [mm] $n\rightarrow\infty$.
[/mm]
Also für die Verteilungsfunktionen von diskreten Zufallsvariablen [mm]P(X_n\le k)\rightarrow P(X\le k)[/mm] und somit [mm]\sum_{i=1}^{k}P(X_n=i)\rightarrow\sum_{i=1}^{k}P(X=i)[/mm], oder?
Nur sind doch die betrachteten $k$ gerade die Unstetigkeitsstellen?
> Du meinst aber das Falsche, denn deine gemeinte Folgerung
> aus [mm]a_k \to a[/mm] folgt [mm]\summe_{k\in\IN} |a_k - a| = 0[/mm] ist im
> Allgemeinen eben falsch.
>
> Nimm bspw. [mm]a_k = \bruch{1}{k}[/mm]
>
> Dazu benötigst du noch eine Zusatzvoraussetzung, die hier
> aber gegeben ist. Diese wird dir vielleicht klarer, wenn
> man die Aussage umschreibt in:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in\IZ}\left| P(X_n=k)-P(X=k) \right| = 0 = \sum_{k\in\IZ}\lim_{n\to\infty} \left| P(X_n=k)-P(X=k) \right| [/mm]
>
> Du vertauschst also einen Grenzwert mit der Reihe.
Ja du hast recht, ich meinte das Falsche, aber da ich ja eh den Grenzwert betrachten soll paßt es ja 
Das darf ich doch in beide Richtungen machen, dann hätte ich ja zumindest schon einmal eine Äquivalenz?
Grüße
couldbeworse
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Nur sind doch die betrachteten [mm]k[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gerade die Unstetigkeitsstellen?
Hast du gut erkannt. Dieses Problem kannst du auf \IZ aber geschickt umgehen.
Mach dir klar, dass dort für k\in\IZ gilt: $F_X(k) = F_X(k+\bruch{1}{2}\right)$
Nun ist F_X aber an der Stelle k+\bruch{1}{2} gerade stetig.
Ein bisschen hin und her geschubse liefert also das Gewünschte.
Schreib das mal sauber auf als Übung!
Damit erhalten wir also $F_{X_n}(k) \to F_X(k)$.
Das ist ja aber nur $P(X_n \le k) \to P(X \le k)$. Wie kommst du nun auf $P(X_n = k) \to P(X = k)$?
> Ja du hast recht, ich meinte das Falsche, aber da ich ja eh den Grenzwert betrachten soll paßt es ja
Nein! Du musst dafür begründen, warum du den Grenzwert reinziehen kannst. Das hast du bisher noch nicht!
> Das darf ich doch in beide Richtungen machen, dann hätte ich ja zumindest schon einmal eine Äquivalenz?
Ja, aber normalerweise zeigt man bei drei Aussagen schönerweise $i) \Rightarrow ii) \Rightarrow iii) \Rightarrow i)$
Zeige nun also $iii) \Rightarrow i)$
Als Tipp dafür:
$\summe_{a_k \in \IZ} |a_k| \ge \summe_{\substack{a_k \in \IZ \\ a_k \le x}} |a_k|$
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo!
>
> Mach dir klar, dass dort für [mm]k\in\IZ[/mm] gilt: [mm]F_X(k) = F_X(k+\bruch{1}{2}\right)[/mm]
>
> Nun ist [mm]F_X[/mm] aber an der Stelle [mm]k+\bruch{1}{2}[/mm] gerade
> stetig.
Ok, verstanden - aber ich verstehe nicht ganz wie daraus [mm]F_{X_n}(k) \to F_X(k)[/mm] folgt...
>
> Das ist ja aber nur [mm]P(X_n \le k) \to P(X \le k)[/mm]. Wie kommst
> du nun auf [mm]P(X_n = k) \to P(X = k)[/mm]?
Ich probier es mal: für beliebiges [mm] $k\in\IZ$ [/mm] habe ich [mm]P(X_n \le k) \to P(X \le k)[/mm], also [mm] $\sum_{i=1}^k P(X_n=i)\rightarrow \sum_{i=1}^k [/mm] P(X=i)$ bzw. [mm] $\sum_{i=1}^k [/mm] | [mm] P(X_n=i)-P(X=i)|\rightarrow [/mm] 0$. dann gilt doch auch [mm] $0=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{k}| P(X_n=i)-P(X=i)| [/mm] - [mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{k-1} [/mm] | [mm] P(X_n=i)-P(X=i)| [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}|P(X_n=k)-P(X=k)|$ [/mm] und somit [mm] $P(X_n=k)\rightarrow [/mm] P(X=k)$ für [mm] $n\rightarrow\infty$. [/mm] Stimmt das so?
>
> > Ja du hast recht, ich meinte das Falsche, aber da ich ja eh
> den Grenzwert betrachten soll paßt es ja
>
> Nein! Du musst dafür begründen, warum du den Grenzwert
> reinziehen kannst. Das hast du bisher noch nicht!
Laut (ii) existieten doch die Limiten der einzelnen Summanden und endlich sind sie, weil immer [mm] $P(X=k)\le [/mm] 1$ gilt. Dann darf ich doch Summation und Grenzwertbildung vertauschen?
> Zeige nun also [mm]iii) \Rightarrow i)[/mm]
>
> Als Tipp dafür:
>
> [mm]\summe_{a_k \in \IZ} |a_k| \ge \summe_{\substack{a_k \in \IZ \\ a_k \le x}} |a_k|[/mm]
Meinst du: [mm] $0=\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in\IZ} |P(X_n=k)-P(X=k)|\ge \sum_{i=1}^k |P(X_n=i)-P(X=i)| [/mm] $ und daraus folgt [mm] $\sum_{i=1}^k P(X_n=i) \rightarrow \sum_{i=1}^k [/mm] P(X=i)$ also [mm] $P(X_n\le k)\rightarrow P(X\le [/mm] k)$?
Grüße
couldbeworse
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ok, verstanden - aber ich verstehe nicht ganz wie daraus
> [mm]F_{X_n}(k) \to F_X(k)[/mm] folgt...
Na ganz einfach: [mm] $F_{X_n}(k) [/mm] = [mm] F_{X_n}\left(k+\bruch{1}{2}\right) \to F_X \left(k+\bruch{1}{2}\right) [/mm] = [mm] F_X(k)$
[/mm]
Begründe jeden Schritt mal selbst.
> Ich probier es mal: für beliebiges [mm]k\in\IZ[/mm] habe ich [mm]P(X_n \le k) \to P(X \le k)[/mm], also [mm]\sum_{i=1}^k P(X_n=i)\rightarrow \sum_{i=1}^k P(X=i)[/mm]
Hier geht es schon falsch los: Deine Zufallsvariable "lebt" auf [mm] \IZ, [/mm] also wenn überhaupt müsste da so etwas stehen wie: [mm] $\sum_{i=-\infty}^k [/mm] P(X=i)$ und dann müsstest du wieder das Vertauschen der Reihe und des Grenzwerts begründen.
Hier geht es aber glücklicherweise einfacher, es gilt nämlich: [mm] $\IP(X [/mm] = k) = [mm] F_X(k) [/mm] - [mm] F_X(k-1)$. [/mm] Analog für [mm] X_n
[/mm]
Und jetzt du weiter!
> Meinst du: [mm]0=\lim_{n\to\infty}\sum_{k\in\IZ} |P(X_n=k)-P(X=k)|\ge \sum_{i=1}^k |P(X_n=i)-P(X=i)|[/mm]
> und daraus folgt [mm]\sum_{i=1}^k P(X_n=i) \rightarrow \sum_{i=1}^k P(X=i)[/mm]
> also [mm]P(X_n\le k)\rightarrow P(X\le k)[/mm]?
Ja, aber auch hier der Hinweis, deinen Summenindex nochmal zu kontrollieren. Der startet nämlich zu spät 
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Hier geht es schon falsch los: Deine Zufallsvariable "lebt"
> auf [mm]\IZ,[/mm] also wenn überhaupt müsste da so etwas stehen
> wie: [mm]\sum_{i=-\infty}^k P(X=i)[/mm] und dann müsstest du wieder
> das Vertauschen der Reihe und des Grenzwerts begründen.
>
> Hier geht es aber glücklicherweise einfacher, es gilt
> nämlich: [mm]\IP(X = k) = F_X(k) - F_X(k-1)[/mm]. Analog für [mm]X_n[/mm]
Ok, also
[mm] $\lim_{n\to\infty} |P(X_n [/mm] = k)-P(X=k)|$
$= [mm] \lim_{n\to\infty} |F_{X_n}(k) [/mm] - [mm] F_{X_n}(k-1) [/mm] - [mm] F_X(k) [/mm] + [mm] F_X(k-1)|$
[/mm]
$ [mm] \le \lim_{n\to\infty} (|F_{X_n}(k) [/mm] - [mm] F_{X}(k)| [/mm] + [mm] |F_X(k-1) [/mm] - [mm] F_{X_n}(k-1)|)$
[/mm]
$ = [mm] \lim_{n\to\infty} |F_{X_n}(k) [/mm] - [mm] F_{X}(k)| [/mm] + [mm] \lim_{n\to\infty}|F_X(k-1) [/mm] - [mm] F_{X_n}(k-1)|= [/mm] 0$
und somit [mm] $P(X_n [/mm] = [mm] k)\rightarrow [/mm] P(X=k)$, wobei man wegen [mm] $F_{X_n}(k)\rightarrow F_X(k)$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IZ$ [/mm] den Limes in die Summe ziehen darf?
>
Gruß
couldbeworse
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ok, also
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} |P(X_n = k)-P(X=k)|[/mm]
>
> [mm]= \lim_{n\to\infty} |F_{X_n}(k) - F_{X_n}(k-1) - F_X(k) + F_X(k-1)|[/mm]
>
> [mm]\le \lim_{n\to\infty} (|F_{X_n}(k) - F_{X}(k)| + |F_X(k-1) - F_{X_n}(k-1)|)[/mm]
>
> [mm]= \lim_{n\to\infty} |F_{X_n}(k) - F_{X}(k)| + \lim_{n\to\infty}|F_X(k-1) - F_{X_n}(k-1)|= 0[/mm]
>
> und somit [mm]P(X_n = k)\rightarrow P(X=k)[/mm]
Das sieht gut aus, wobei hier rein formal natürlich noch fehlt ,dass der Ausdruck auch größergleich Null ist. Sollte man erwähnen
> wobei man wegen [mm]F_{X_n}(k)\rightarrow F_X(k)[/mm] für alle [mm]k\in\IZ[/mm] den Limes in die Summe ziehen darf?
Ja, du meinst aber wohl wieder mal das falsche. Der Grenzwert einer Summe von Folgen ist die Summe der Grenzwerte sofern die Einzelgrenzwerte existieren.
Das tun sie hier, daher geht das ok.
Hat aber nichts mit dem zu tun, was du später brauchst, da willst du den Grenzwert nämlich in eine Reihe ziehen, das ist was anderes, auch wenn es ähnlich aussieht.
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
