Konvergenz eines Integrals < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Do 17.01.2008 | | Autor: | SLik1 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie den Bereich des Parameters a, für welchen das uneigentliche Integral konvertiert.
[mm] \integral_{e}^{\infty}{\bruch{(ln x)^{a}}{x} dx} [/mm] |
Hallo,
Ich weiß nicht genau wie ich die Konvergenz zeigen soll für das Integral.
Zunächst habe ich es gelöst durch Substitution von ln x.
t=ln x
t'=1/x
[mm] x=e^{t}
[/mm]
[mm] \limes_{b \rightarrow\infty} \integral_{1}^{ln (b)}{t^{a} dt}
[/mm]
ln x wurde durch t ersetzt, das x im nenner hat sich weggekürzt mit 1/t' von dem dx/dt.
weiterhin aufgelöst:
[mm] =\limes_{b \rightarrow\infty} [/mm] [ [mm] \bruch{t^{a+1}}{a+1} [/mm] ] (index unten 1; index oben ln b]
soweit ok?
nun habe ich jedoch keine ahnung wie ich Konvergenz feststellen soll..
frage mich grade sogar, ob das lösen des integrals notwendig war^^
konvergieren sollte es wenn ich mir das integral anschau wahrscheinlich bei a < 0
oder schau ich das beim gelösten? dann vllt bei a < -1.
aber wie zeige ich das?
Vielen Dank an alle, die sich bemühen mir zu Helfen :)
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Do 17.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Ich denke es geht auch ohne Substitution:
Für [mm] a\not=-1 [/mm] folgt:
[mm] \int_{e}^{\infty} \frac{(lnx)^a}{x}\, [/mm] dx = [mm] \lim_{b \to \infty}[\frac{(lnx)^{a+1}}{a+1}]^b_e [/mm] = [mm] \lim_{b \to \infty}\frac{(lnb)^{a+1}-1}{a+1} =\left\{\begin{matrix}
+\infty, & \mbox{wenn }\mbox{ a>-1} \\
\frac{-1}{a+1}, & \mbox{wenn }\mbox{ a<-1}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Für a=-1 folgt:
[mm] \int_{e}^{\infty} \frac{(lnx)^a}{x}\, [/mm] dx = [mm] \lim_{b \to \infty}[ln(lnx)]^b_e [/mm] = [mm] \lim_{b \to \infty}ln(lnb) [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Do 17.01.2008 | | Autor: | SLik1 |
Danke für die schnelle Antwort :)
Also kann ich das einfach sagen, dass es konvergiert wenn a < -1
und zeige dass es bei a >= -1 nicht der fall ist
super^^
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