Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Do 18.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Gebe alle Parameter $\ [mm] \alpha \in \IR \setminus \{-2\} [/mm] $ an, für die die Reihe
$\ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(2+\alpha)^k} [/mm] $
konvergiert. Für welche $\ [mm] \alpha [/mm] $ konvergiert die Reihe sogar absolut? |
Hallo,
Frage vorab: Warum greift hier das Leibniz-Kriterium nicht?
Kann man denn nicht zeigen, dass $\ [mm] \frac{1}{k(2+\alpha)^k} [/mm] $ eine Nullfolge ist?
Jedenfalls wird diese Aufgabe mit dem Quotientenkriterium gelöst und es heißt:
$\ [mm] \lim_{k \to \infty} |\frac{k(2+\alpha)^k}{(k+1)(2+\alpha)^{k+1}}| [/mm] = [mm] \frac{1}{|2+\alpha|} [/mm] $
Doch wo ist $\ [mm] (-1)^k [/mm] $ abgeblieben und wie kommt man denn auf diese Gleichung?
Ich seh's leider nicht.
Würde mich über Tips freuen.
Grüße
ChopSuey
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Hallo!
> Frage vorab: Warum greift hier das Leibniz-Kriterium nicht?
> Kann man denn nicht zeigen, dass [mm]\ \frac{1}{k(2+\alpha)^k}[/mm] eine Nullfolge ist?
Du müsstest gar zeigen, dass [mm] $\frac{1}{k*(2+\alpha)^k}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
> Jedenfalls wird diese Aufgabe mit dem Quotientenkriterium
> gelöst und es heißt:
>
> [mm]\ \lim_{k \to \infty} |\frac{k(2+\alpha)^k}{(k+1)(2+\alpha)^{k+1}}| = \frac{1}{|2+\alpha|}[/mm]
>
> Doch wo ist [mm]\ (-1)^k[/mm] abgeblieben
Das verschwindet (bzw. wurde hier gar nicht erst hingeschrieben) wegen der Betragsstriche. Denn [mm] $\left| \ (-1)^k \ \right| [/mm] \ = \ 1$ .
> und wie kommt man denn auf diese Gleichung?
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Do 18.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Roadrunner!
super, vielen Dank.
Mir war klar, weshalb der Bruch und die Betragsstriche. Nur das verschwindende $\ [mm] (-1)^k [/mm] $ und die ganzen Zwischenschritte auf einmal konnte ich nicht nachvollziehen.
Hat sich nun geklärt 
Viele Grüße
ChopSuey
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