Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mi 10.12.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Prüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^3+17*n} [/mm] |
Also mit Quotientenkriterium komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] \left|\bruch{(-1)^{n+1}*(n^3+17*n)}{(n+1)^3+17*(n+1)*(-1)^n}\right|
[/mm]
[mm] =\bruch{(1)^{n+1}*(n^3+17*n)}{(n+1)^3+17*(n+1)*(1)^n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^3+17*n}{n^3+3*n^2+20*n+18}\xrightarrow[n\rightarrow\infty] [/mm] 1 [mm] \to [/mm] keine Aussage über Konvergenz mit Quotientenkriterium möglich...
Probiere ich es mit dem Leibnitzkriterium:
[mm] \bruch{(-1)^n}{n^3+17*n} [/mm] ist eine Nullfolge
[mm] \bruch{1}{n^3+17*n}>\bruch{1}{(n+1)^3+17*(n+1)}
[/mm]
[mm] \gdw n^3+3*n^2+3*n+1+17*n+17>n^3+17*n
[/mm]
[mm] \gdw 3*n^2+3*n+18>0
[/mm]
Da [mm] n\in\IN [/mm] ist sehe ich sofort, dass die Ungleichung stimmt, also ist die Folge auch betraglich monoton fallend.
Durch [mm] (-1)^n [/mm] im Zähler [mm] \bruch{(-1)^n}{n^3+17*n} [/mm] ist die Folge alternierend.
Deshalb kann ich die Aussage machen, dass die Reihe konvergent ist.
Habe ich alles richtig gemacht?
Danke und Gruß,
tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 10.12.2008 | | Autor: | tedd |
Cool,
danke für's drüberschauen reverend 
Gruß,
tedd
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