Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 So 09.12.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Behauptungen:
Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert, dann auch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\wurzel{a_n*a_{n+1}}
[/mm]
und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{a_n}+\bruch{1}{a_{n+1}})^{-1} [/mm] |
Hi,
also beim ersten ding habe ich leider überhaupt keine Ahnung wie man das angehen könnte, aber beim zweiten hätte ich eine Idee:
Und zwar gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{a_n}+\bruch{1}{a_{n+1}})^{-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n+a_{n+1}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}a_n +\summe_{n=1}^{\infty}a_{n+1}
[/mm]
Da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n+1} [/mm] logischerweise auch konvergiert, konvergiert auch die summe aus den beiden Reihen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jun-Zhe!
Sind in der Aufgabenstellung noch weiter Angaben zu [mm] $a_n$ [/mm] gemacht, wie z.B. dass [mm] $a_n$ [/mm] positiv ist für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] oder gar Angaben zur Monotonie von [mm] $a_n$ [/mm] ?
Dann folgt aus der Konvergenz von [mm] $\summe a_n$ [/mm] , dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist mit [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_{n+1}$ [/mm] :
[mm] $$\wurzel{a_n*a_{n+1}} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel{a_n*a_n} [/mm] \ = \ ...$$
> Und zwar gilt:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{a_n}+\bruch{1}{a_{n+1}})^{-1}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n+a_{n+1}[/mm]
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") NEIN!!! Du darfst hier nicht einfach bruchweise den Kehrwert nehmen. Es gilt:
[mm] $$\left(\bruch{1}{a_n}+\bruch{1}{a_{n+1}}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{a_{n+1}+a_n}{a_n*a_{n+1}}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_n*a_{n+1}}{a_n+a_{n+1}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Beweisen Sie folgende Behauptungen:
> Wenn [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] konvergiert, dann auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\wurzel{a_n*a_{n+1}}[/mm]
> und
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{a_n}+\bruch{1}{a_{n+1}})^{-1}[/mm]
> Hi,
> also beim ersten ding habe ich leider überhaupt keine
> Ahnung wie man das angehen könnte:
[mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] müssen beide das selbe Vorzeichen haben, da sonst die Wurzel aus dem Produkt nicht existiert. Damit müssen aber alle Glieder gleiches Vorzeichen haben, seien also o.E. alle positiv.
Wenn [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] konvergiert, so konvergiert auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n+1}[/mm] (das ist ja das selbe ohne das erste Glied) und damit auch
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}(a_n + a_{n+1})[/mm]. (Gliedweise Addition)
Dann konvergiert aber auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty}max(a_n,a_{n+1})[/mm] (von beiden Summanden wird nur der größere ausgesucht).
Weil aber [mm] \wurzel{a_n*a_{n+1}} < max(a_n,a_{n+1})[/mm] ist (erkennt man sofort durch Quadrieren), muss auch die Summe der Wurzeln konvergieren.
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