Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche mich gerade noch mal an einer Konvergenzaufgabe, also ob die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] (a + [mm] \bruch{1}{n})^{3n} [/mm] , a [mm] \in \IR [/mm] , a [mm] \not= [/mm] -1 konvergent / absolut konvergent ist.
Ich wollte hier mit dem Wurzelkriterium rangehen, also [mm] \wurzel[n]{|a_n|}=\wurzel[n]{(a+ \bruch{1}{n}})^{3n} [/mm] = (a + [mm] \bruch{1}{n})^3
[/mm]
Tja...und dann? Ist das überhaupt der richtige Ansatz?
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Dein Ansatz ist okay! Damit Deine Reihe nun konvergiert, musst Du nun also das $a_$ derartig einschränken, dass gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a+\bruch{1}{n}\right)^3 [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ 1$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe!
> Dein Ansatz ist okay! Damit Deine Reihe nun konvergiert,
> musst Du nun also das [mm]a_[/mm] derartig einschränken, dass gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a+\bruch{1}{n}\right)^3 \ \red{<} \ 1[/mm]
Ja, dass ich ein "< 1 " zeigen muss um Konvergenz nachzuweisen, das ist klar. Wäre es ">1" so wäre die Reihe divergent. Aber ich sitze davor und mir fällt nicht ein was ich da als nächstes machen soll. :-( Abschätzen? Oder kann man da noch weiter "rechnen"? Wäre über einen kleinen/größeren Anstoß meiner Gedanken sehr dankbar!
Gruß,
Anna
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Hallo Anna,
wenn ich gerade nicht völlig daneben liege, ist es gar nicht so schwer
du hast doch [mm] $\left(a+\frac{1}{n}\right)^3=a^3+\frac{3a^2}{n}+\frac{3a}{n^2}+\frac{1}{n^3}$
[/mm]
und das geht gegen [mm] $a^3$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
Also [mm] $a^3<1\Rightarrow [/mm] a<1$
Damit folgt absolute Kgz für $0<a<1$
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
> wenn ich gerade nicht völlig daneben liege, ist es gar
> nicht so schwer
> du hast doch
> [mm]\left(a+\frac{1}{n}\right)^3=a^3+\frac{3a^2}{n}+\frac{3a}{n^2}+\frac{1}{n^3}[/mm]
Genau, so weit war ich auch.
> und das geht gegen [mm]a^3[/mm] für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
Ja, das erkenne ich auch.
> Also [mm]a^3<1\Rightarrow a<1[/mm]
>
> Damit folgt absolute Kgz für [mm]0
Ok, kann ich nachvollziehen. Aber das heißt doch dann auch, dass die Reihe für a [mm] \ge [/mm] 1 divergent ist, oder?
Gruß,
Anna
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Hi,
jau, denn für [mm] a\ge [/mm] 1 ist [mm] a^3\ge [/mm] 1 und das bedeutet Divergenz.
Für a<0 ist die Reihe m.E. auch divergent, da [mm] a^3 [/mm] dann auch <0 wäre
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
> jau, denn für [mm]a\ge[/mm] 1 ist [mm]a^3\ge[/mm] 1 und das bedeutet
> Divergenz.
>
> Für a<0 ist die Reihe m.E. auch divergent, da [mm]a^3[/mm] dann auch
> <0 wäre
Ja, denn die Reihe würde doch da gegen [mm] -(a^3) [/mm] für n -> [mm] \infty, [/mm] richtig????
Und wenn a = 0 ist, dann wäre es doch eine Nullfolge, somit eigentlich auch konvergent, oder?
Gruß,
Anna
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Hallo nochmal,
fassen wir mal zusammen:
Für [mm] $0\le [/mm] a<1$ ist die Reihe konvergent, für $a<0$ und [mm] $a\ge1$ [/mm] ist sie divergent.
Das müsste der Stand unserer Dinge sein, oder?
Dann haben wir's ja - puh - hartes Stück Arbeit 
LG
schachuzipus
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Hallo 
> fassen wir mal zusammen:
>
> Für [mm]0\le a<1[/mm] ist die Reihe konvergent, für [mm]a<0[/mm] und [mm]a\ge1[/mm]
> ist sie divergent.
>
> Das müsste der Stand unserer Dinge sein, oder?
Ja, das ist er.
> Dann haben wir's ja
Ich bin gerade am überlegen, was mit -1 < a < 0 ist????
> - puh - hartes Stück Arbeit
In der Tat. Du beherrscht das aber alles schon richtig super - im Gegensatz zu mir. :-(
Gruß,
Anna
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Hallo Anna,
ich denke, für a<0 divergiert die Reihe,
wenn du das WK wie oben benutzt, muss doch [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{|a_n|}=q$ [/mm] mit [mm] $q\in [0,\infty)$ [/mm] sein, wobei Konvergenz für [mm] $0\le [/mm] q<1$ vorliegt und Divergenz für $a>1$. Also müsste die Reihe für a<0 m.E. divergieren.
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
> ich denke, für a<0 divergiert die Reihe,
>
> wenn du das WK wie oben benutzt, muss doch
> [mm]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{|a_n|}=q[/mm] mit [mm]q\in [0,\infty)[/mm]
> sein, wobei Konvergenz für [mm]0\le q<1[/mm] vorliegt und Divergenz
> für [mm]a>1[/mm]. Also müsste die Reihe für a<0 m.E. divergieren.
Achso. Ich dachte, die Begrenzung von q auf 0 [mm] \le [/mm] q < 1 gilt nur bei
beim Wurzelkriterium [mm] |a_k| \le [/mm] c [mm] q^k [/mm] und nicht bei lim . Dort dachte ich gibt es nur die Unterscheidung "> 1" (divergent) oder "< 1" (konvergent) bzw. bei "= 1" ist keine Aussage??
Gruß,
Anna
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Hallo Anna.
das Wurzelkriterium sagt doch genau das:
[mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n}|=q$ [/mm] mit [mm] $0\le [/mm] q<1$ dann ist die Reihe (absolut) konvergent und für $q>1$ divergent
Dabei ist [mm] $q\in [0;\infty)$
[/mm]
Die (n-te) Wurzel ist ja nur für nicht-negative Werte definiert
Also Konvergenz für [mm] $0\le [/mm] q<1$ und Divergenz für $q<0$ und [mm] $q\ge [/mm] 1$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo schachuzipus,
> das Wurzelkriterium sagt doch genau das:
>
> [mm]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n}|=q[/mm] mit [mm]0\le q<1[/mm]
> dann ist die Reihe (absolut) konvergent und für [mm]q>1[/mm]
> divergent
>
> Dabei ist [mm]q\in [0;\infty)[/mm]
>
> Die (n-te) Wurzel ist ja nur für nicht-negative Werte
> definiert
Das war mein Denkfehler. Danke, jetzt ist es klar!!
Herzlichen Dank nochmals für Deine Hilfe / Mühe!
Gruß,
Anna
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Hallo nochmals,
> [mm]\left(a+\frac{1}{n}\right)^3=a^3+\frac{3a^2}{n}+\frac{3a}{n^2}+\frac{1}{n^3}[/mm]
>
> und das geht gegen [mm]a^3[/mm] für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
>
> Also [mm]a^3<1\Rightarrow a<1[/mm]
>
> Damit folgt absolute Kgz für [mm]0
Muss das a nicht < 1 sein sondern [mm] 3a^2 [/mm] < 1?
Gruß,
Anna
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Nööööö,
n geht doch gegen [mm] \infty,
[/mm]
da geht der Bruch bei jedem festen a gegen 0
Gruß
schachuzipus
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Für beliebiges a>0 ist
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] $ (a + $ [mm] \bruch{1}{n})^{3n} [/mm] $ >$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] $ (a [mm] )^{3n} [/mm] $ = $ (a [mm] )^{3n} [/mm] $ $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1 [/mm] = [mm] \infty [/mm] und damit divergent.
Für beliebiges a<0 setze ich der Einfachheit halber b=-a>0 und erhalte damit
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] $ (a + $ [mm] \bruch{1}{n})^{3n} [/mm] $ =$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] $ (-b + $ [mm] \bruch{1}{n})^{3n} [/mm] $.
Nun ist für alle [mm] n\ge [/mm] 2b
[mm] \summe_{i=2b}^{\infty} [/mm] (-b+1/n [mm] )^{3n} [/mm] = [mm] -\summe_{i=2b}^{\infty} [/mm] (b-1/n [mm] )^{3n} <-\summe_{i=2b}^{\infty} [/mm] (b-1/2b [mm] )^{3n} =<-\summe_{i=2b}^{\infty} [/mm] (1/2b [mm] )^{3n} [/mm]
=<-(b-1/2b [mm] )^{3n}\summe_{i=2b}^{\infty}1 =-\infty
[/mm]
Für a=0 ist die Reihe konvergent, was trivial nachzuweisen ist.
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Hallo HJK,
> Für beliebiges a>0 ist
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] (a + [mm]\bruch{1}{n})^{3n}[/mm] >[mm] \summe_{i=1}^{\infty}[/mm]
> (a [mm])^{3n}[/mm] [mm]=[/mm] (a [mm])^{3n}[/mm] [mm][/mm] [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> damit divergent.
Hakt das nicht für a<1?
Wenn du das wie oben abschätzt, hast du [mm] ...>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a^{3n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a^{3})^n [/mm] und das ist doch ne konvergente geometrische Reihe, also keine div. Minorante oder steh ich da gerade neben mir?
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
vielen Dank für Deine Hilfe!
> Für beliebiges a>0 ist
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] (a + [mm]\bruch{1}{n})^{3n}[/mm] >[mm] \summe_{i=1}^{\infty}[/mm]
d.h. hier wurde nun einfach eine Abschätzung vorgenommen?!
> (a [mm])^{3n}[/mm] [mm]=[/mm] (a [mm])^{3n}[/mm] [mm][/mm] >[mm]\summe_{i=1}^{\infty}1[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
Wieso denn hier jetzt die "1" ?
> damit divergent.
>
> Für beliebiges a<0 setze ich der Einfachheit halber b=-a>0
> und erhalte damit
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] (a + [mm]\bruch{1}{n})^{3n}[/mm] =[mm] \summe_{i=1}^{\infty}[/mm]
> (-b + [mm]\bruch{1}{n})^{3n} [/mm].
>
> Nun ist für alle [mm]n\ge[/mm] 2b
>
> [mm]\summe_{i=2b}^{\infty}[/mm] (-b+1/n [mm])^{3n}[/mm] =
> [mm]-\summe_{i=2b}^{\infty}[/mm] (b-1/n [mm])^{3n} <-\summe_{i=2b}^{\infty}[/mm]
> (b-1/2b [mm])^{3n} =<-\summe_{i=2b}^{\infty}[/mm] (1/2b [mm])^{3n}[/mm]
> =<-(b-1/2b [mm])^{3n}\summe_{i=2b}^{\infty}1 =-\infty[/mm]
Also auch divergent.
> Für a=0 ist die Reihe konvergent, was trivial nachzuweisen
> ist.
Ja, das schrieb ich ja bereits, dass das ja eine Nullfolge ist, korrekt?
Danke,
Gruß
Anna
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Sorry, habe das n im Exponenten übersehen, und da ich immer nur kopiert habe, das auch nicht bemerkt. Ihr habt natürlich Recht!!!
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