Konvergenz einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche Zahlen [mm] \alpha \ge0 [/mm] liegt für die Reihe
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k(lnk)^\alpha}
[/mm]
Konvergenz vor? Beweise deine Antwort. |
Bin mir nicht sicher, wie ich das machen soll.
Geht es, wenn ich eines der Kriterien für die Konvergenz von Reihen anwende? (Wurzel- oder Quotientenkriterium)
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Für [mm]\alpha \geq 0[/mm] ist die Reihe
[mm]\sum_{k=3}^{\infty}~\frac{1}{k \left( \ln{k} \right)^{\alpha}}[/mm]
eine Untersumme und die Reihe
[mm]\sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{k \left( \ln{k} \right)^{\alpha}}[/mm]
eine Obersumme des Integrals
[mm]\int_2^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x \left( \ln{x} \right)^{\alpha}}[/mm]
Damit gilt nach dem Vergleichskriterium
[mm]\sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{k \left( \ln{k} \right)^{\alpha}} \ \ \text{konvergent} \ \ \Leftrightarrow \ \ \int_2^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x \left( \ln{x} \right)^{\alpha}} \ \ \text{konvergent}[/mm]
Das Integral läßt sich aber mittels der Substitution [mm]u = \ln{x}[/mm] gut untersuchen.
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