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Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Fr 25.03.2016
Autor: Reynir

Hi,
wenn ich zwei Reihen habe und es gilt: [mm] $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}$ [/mm]  mit [mm] $b_n=\frac{1}{n^s}$ [/mm] und $s>1$ (dann konvergiert diese erst Reihe). Sei [mm] $\sum_{n\geq 0} a_n$ [/mm] mit [mm] $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}$, [/mm] wieso kann man dann sagen, dass [mm] $\sum_{n\geq 1} [/mm] M [mm] b_n [/mm] $ eine  Majorante ist?Ich sehe nicht, wie ich aus dem Quotienten die [mm] $a_n$ [/mm] abschätzen kann.
Viele Grüße,
Reynir

        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Fr 25.03.2016
Autor: tobit09

Hallo Reynir!


>  wenn ich zwei Reihen habe und es gilt: [mm]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}[/mm]
>  mit [mm]b_n=\frac{1}{n^s}[/mm] und [mm]s>1[/mm] (dann konvergiert diese erst
> Reihe). Sei [mm]\sum_{n\geq 0} a_n[/mm] mit
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}[/mm],

... für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$?
Also gilt insbesondere [mm] $a_n\not=0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge [/mm] 1$?

> wieso kann
> man dann sagen, dass [mm]\sum_{n\geq 1} M b_n[/mm] eine  Majorante
> ist?

Was ist M?
Vermutlich lautet die Behauptung, dass eine Zahl M EXISTIERT, so dass [mm] $\sum_{n\geq 0} [/mm] M [mm] b_n$ [/mm] eine Majorante von [mm] $\sum_{n\geq 0}a_n$ [/mm] ist (damit ist wohl gemeint, dass [mm] $|a_n|\le Mb_n$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$ gilt).


> Ich sehe nicht, wie ich aus dem Quotienten die [mm]a_n[/mm]
> abschätzen kann.

Wähle [mm] $M:=\frac{|a_1|}{b_1}$ [/mm] und zeige per vollständiger Induktion, dass tatsächlich für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$ gilt: [mm] $|a_n|\le Mb_n$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Sa 26.03.2016
Autor: Reynir

Hi Tobit,
ich danke dir für deine Hilfe. Das war Teil eines Beweises meines Profs, der hatte gesagt die Ungleichung gilt für n groß genug und dann gibt es das M. Zu den [mm] $a_n$ [/mm] weis man nichts.
Viele Grüße,
Reynir

Bezug
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