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Konvergenz einer Funktionenfol: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Do 07.04.2005
Autor: Ernesto

Einen erfrischenden guten Morgen wünsche ich erstmal.

Nun zum ernst des Tages:

Wie kann ich beweisen, das die Funktionenfolge definiert mit:

                        fn : R [mm] \to [/mm]  R , x [mm] \mapsto [/mm] x / 1 + [mm] nx^2 [/mm]  

gleichmässig gegen die Nullfunktion konvergiert???

ich bedanke mich schon im vorraus

        
Bezug
Konvergenz einer Funktionenfol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Do 07.04.2005
Autor: Julius

Hallo!

Betrachte mal die Funktion [mm] $f_n$. [/mm]

Es gilt: [mm] $f_n(0)=0$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x)=0=\lim\limits_{x \to -\infty} f_n(x)$. [/mm]

Zudem gilt: [mm] $f_n(x)>0$ [/mm] für alle $x [mm] \in (0,+\infty)$ [/mm] und [mm] $f_n(x)<0$ [/mm] für alle $x [mm] \in (-\infty,0)$. [/mm]

Es besteht also gute Hoffnung, [mm] $|f_n(x)|$ [/mm] für festens $n [mm] \in \IN$ [/mm] durch

[mm] $\max\{\max\{f_n(x)\, : \, x \in (0,+\infty)\}, -\min\{f_n(x)\, : \, x \in (-\infty,0)\}\}$ [/mm]

abzuschätzen (und dann anschließend den Grenzübergang für $n [mm] \to \infty$ [/mm] zu vollziehen).

Was musst du also tun?

Den Hoch-und Tiefpunkt von [mm] $f_n$ [/mm] finden und damit dann den Betrag von [mm] $f_n$ [/mm] abschätzen...

Viele Grüße
Julius



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