Konvergenz einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Flow |
Tach Post!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Also ich habe da ein Problem mit einer Aufgabe:
Ich soll diese Folge:
[mm]a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^2}{n^3+k}[/mm]
für n gegen Unendlich auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert angeben.
Es ist keine Reihe sondern eine Folge (Kein Schreibfehler)
Ich habe schon versucht mit dem Cauchy-Kriterium zu zeigen das es konvergiert, aber ich weiß einfach nicht gegen was und wie ich es anstellen soll diesen Wert zu ermitteln! Oder bin ich mit Cauchy etwa auf der falschen Fährte?? Ich bin verzweifelt!
Darum wende ich mich an euch.
Schon einmal Danke im Vorraus das ihr eure Grauenzellen überhaupt bemüht!
Gruß Flow
Upps ist ins falsche Forum gerutscht. Ist mir jetzt echt peinlich
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Hallo Flow,
durch relativ einfache Abschätzungen des Nenners kannst du zeigen, dass für die Summe gilt:
[mm]\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}\le a_n\le\frac{1}{3}+\frac{1}{n}[/mm]
Der Grenzwert der Folge ist daher 1/3.
Eine ausführliche Antwort kann ich dir morgen geben. Es wäre allerdings nicht schlecht, wenn du ein paar [mm] a_n [/mm] ausrechnest, um meine Abschätzung zu überprüfen.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 28.11.2004 | | Autor: | Flow |
Erst einmal Dankeschön!
Habe mein Maple mal mit der Folge gefüttert und es läuft tatsächlich auf
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] hinaus!
Doch mir ist noch etwas unklar wie die Abschätzung von statten geht? Wäre nett wenn dort etwas mehr in die Materie gegangen wird!(Wenns doch so einfach ist;))
Nichts desto trotz Danke für die wirklich schnelle und tolle Hilfe!
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Hallo Flow,
du schätzt erst einmal deine Summanden [mm]\frac{k^2}{n^3+k}[/mm] ab.
Nach oben durch [mm]\frac{k^2}{n^3+k}\le\frac{k^2}{n^3}[/mm], nach unten durch [mm]\frac{k^2}{n^3+k}\ge\frac{k^2}{n^3+n^2}[/mm].
Dann kannst du die n-Terme aus der Summe rausziehen und die Summe der Quadratzahlen durch [mm]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] ersetzen.
Einmal musst du noch benutzen, dass [mm]\frac{1}{6n^2}\le\frac{1}{2n}[/mm] und schon steht fest, dass die Folge gegen 1/3 konvergiert.
Mit dem Cauchykriterium begründet man die Konvergenz, den für ein n gilt immer, dass die Folge höchstens um [mm]\frac{5}{6n}[/mm] variiert.
Hugo
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