Konvergenz der Reihe von 1/n^2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Di 27.05.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}$ [/mm] ist konvergent. |
Hallo,
hab schon versucht, die Konvergenz mit der QUotientenregel zu beweisen, da komme ich aber auf q:=1.
Kann mir da jemand helfen ?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Di 27.05.2008 | | Autor: | nikito |
Da fehlt doch noch etwas in der Aufgabenstellung oder? Aber wenn es sich um die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] handelt ist die Quotientenregel der richtige weg und du hast dich leider nur verrechnet.
Lg Nikito
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:35 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Nikito,
> Da fehlt doch noch etwas in der Aufgabenstellung oder? Aber
> wenn es sich um die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
> handelt ist die Quotientenregel der richtige weg und du
> hast dich leider nur verrechnet.
Nee, die Quotientenregel liefert tatsächlich q=1:
[mm] $a_n=\bruch1{n^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \limes_{n\to\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\limes_{n\to\infty} \bruch{\bruch{1}{(n+1)^2}}{\bruch{1}{n^2}}=\limes_{n\to\infty} \bruch{n^2}{(n+1)^2}=\limes_{n\to\infty} \bruch{n^2}{n^2+2n+1}=\limes_{n\to\infty} \bruch{n^2}{n^2*\left(1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}\right)}=\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}=1$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:41 Di 27.05.2008 | | Autor: | nikito |
Mea culpa! Stimmt natürlich.
Vielen Dank Mark
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:46 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marc |
> Vielen Dank Mark
Marc 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Reihe mit den Reihengliedern 1/(n(n-1)) erkennst Du leicht als eine Teleskopreihe und kannat ihren Reihenwert leicht berechnen. Sie ist also konvergent. Weiter ist sie eine konvergente Majorante Deiner vorgelegten Reihe
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Do 29.05.2008 | | Autor: | Tobus |
vielen dank schonmal für die majorante, den grenzwert kann ich trotzdem nicht berechnen, da dieser ebenfalls 1 wird:
1/(n(n-1)): Quotientenkriterium: ((n+1)*((n+1)-1)/(n*(n+1)) = (n+1)/(n-1) = 1
was mache ich falsch ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Für die Reihe mit den Reihengliedern 1/(n(n-1)) schreibe mal die n-te Patialsumme hin. Dann siehst , dass sich viel weghebt. Dann lasse n gegen unendlich gehen.
(Du gehst also auf die Definition der Konvergenz einer unendlichen Reihe zurück, schau die die nochmal an.)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Do 29.05.2008 | | Autor: | Tobus |
die reihe hat folgende glieder:
(1/2), (1/6), (1/12) ....
ich weiß aber nicht dass du mit der n-ten partialsumme meinst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie habt Ihr die Konvergenz einer unendlichen Reihe def. ?
Schreib das mal auf.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 29.05.2008 | | Autor: | Tobus |
die konvergenz einer reihe haben wir mit cauchy definiert:
für alle epsilon>0 existiert ein [mm] n_eN [/mm] für alle [mm] n,m>n_e: ||\summe_{i=1}^{n}ak|| [/mm] < epsilon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Das stimmt so nicht. Schau nochmal nach
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Do 29.05.2008 | | Autor: | Tobus |
für alle epsilon>0 existiert ein [mm] n_e [/mm] N für alle [mm] n,m>n_e: ||\summe_{k=n+1}^{m}ak|| [/mm] < epsilon
so jetzt ist es wie im skript
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Jetzt ist es richtig. Schau mal in Deinem Skript nach "Teilsumme", "partialsumme"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 29.05.2008 | | Autor: | Tobus |
also eine definition haben wir dafür nicht, die partialsummen sind aber die "glieder" der unendlichen summe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein.
Die n-te partialsumme einer unendlichen Reihe ist die Summe der ersten n Reihenglieder.
Die Reihe nennt man konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert.
Hattet Ihr das nicht ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 29.05.2008 | | Autor: | Tobus |
nein, leider nicht.
wie hilft mir das bei der konvergenz von 1/n*(n-1)) weiter ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Das kann ich nicht glauben !!!!
Übrigends verwechselst Du ständig Folge mit Reihe
Bsp. die Folge (1/n) ist konvergent,aber die Reihe mit den Reihenglieder 1/n ist divergent
FRED
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