Konvergenz der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mi 24.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Ist [mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] eine monoton fallende konvergente Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=0, [/mm] dann konvergiert auch die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit
[mm] a_n:=b_1-b_2+b_3-b_4+...+(-1)^{n-1}b_n
[/mm]
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Da [mm] b_n [/mm] eine monoton fallende konvergente Folge ist [mm] \Rightarrow b_n [/mm] nach unter beschränkt ist und [mm] b_{n-1}>b_n
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 \exists N\in\IN \forall [/mm] n>N: [mm] |a_n-a|>\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a
[/mm]
was soll ich weiter machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo eppi!
Schreibe die Folge [mm] $a_n$ [/mm] als Reihe und denke an ein Kriterium von Herrn Leibniz.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Mi 24.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo eppi!
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> Schreibe die Folge [mm]a_n[/mm] als Reihe und denke an ein Kriterium
> von Herrn Leibniz.
Ich vermute allerdings, dass diese Aufgae erst zum Leibnizkriterium hinführen soll.
Deshalb folgendes:
Mache dir klar, dass die Folge [mm] a_n [/mm] eine Intervallschachtelung beschreibt, deren obere Intervallgrenzen [mm] a_1, a_3, a_5 [/mm] ... ständig kleiner und deren untere Intervallgrenzen [mm] a_2, a_4, a_6 [/mm] ...
ständig größer werden. Der Grenzwert von [mm] a_n [/mm] ist dazwischen eingeklemmt und muss zusehen, wie sich von beiden Seiten die Grenzen bedrohlich nähern.
Viele Grüße
Lutz
>
>
> Gruß
> Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 24.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
Bew: wir betrachten die geraden Partialsummen. Da nach Voraussetzung [mm] b_{2n+2} \le b_{2n+1}, [/mm] ist [mm] S_{2n+2}-S_{2n}=-b_{2n+1}+b_{2n+2} \le0 [/mm] und somit [mm] S_0 \ge S_2 \ge S_4 \ge...
[/mm]
[mm] S_1 \le S_3 \le S_5 \le [/mm] ... da [mm] S_{2n+1}-S_{2n}=-b_{2n+1} \le [/mm] 0
[mm] \Rightarrow S_{2n} [/mm] monoton fallend und beschränkt und [mm] S_{2n+1} [/mm] monoton wachsend und beschränkt.
Da die Folge [mm] S_{2n} [/mm] und [mm] S_{2n+1} [/mm] konvergent sind.
Sei a := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}S_{2n} [/mm] und b := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}S_{2n+1}, [/mm] Nach Voraussetzung a-b= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(S_{2n}-S{2n+1})= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}=9 \Rightarrowa=b
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0, [/mm] dann [mm] \exists N_1,N_2\in\IN, \forall n\ge N_1: |a-S_{2n}|<\epsilon [/mm] und [mm] n\ge N_2: |a-S_{2n+1}|<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall n\ge \limes_{n\rightarrow\infty}S_{n}=a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 24.06.2009 | | Autor: | abakus |
> trotz ihre Hilfe kann ich nicht das nicht zeigen. Ich habe
> Leibniz-Kriterium gelesen und den Beweis gesehen, aber das
> hilft mir nicht. :(
Begründe erst mal:
1) Warum ist [mm] a_2 [/mm] kleiner als [mm] a_1?
[/mm]
2) Warum ist auch [mm] a_3_kleiner [/mm] als [mm] a_1?
[/mm]
3) Warum ist [mm] a_3 [/mm] aber größer als [mm] a_2?
[/mm]
4) Warum ist [mm] a_4 [/mm] zwar kleiner als [mm] a_3, [/mm] aber größer als [mm] a_2?
[/mm]
Gruß Abakus
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Bew:
zuerst betrachte ich die geraden Partialsummen. Da nach Voraussetzung $ [mm] b_{2n+2} \le b_{2n+1}, [/mm] $ ist $ [mm] S_{2n+2}-S_{2n}=-b_{2n+1}+b_{2n+2} \le0 [/mm] $ und somit $ [mm] S_0 \ge S_2 \ge S_4 \ge... [/mm] $
$ [mm] S_1 \le S_3 \le S_5 \le [/mm] $ ... da $ [mm] S_{2n+1}-S_{2n}=-b_{2n+1} \le [/mm] $ 0
$ [mm] \Rightarrow S_{2n} [/mm] $ monoton fallend und beschränkt und $ [mm] S_{2n+1} [/mm] $ monoton wachsend und beschränkt.
Da die Folge $ [mm] S_{2n} [/mm] $ und $ [mm] S_{2n+1} [/mm] $ konvergent sind.
Sei a := $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}S_{2n} [/mm] $ und b := $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}S_{2n+1}, [/mm] $ Nach Voraussetzung a-b= $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(S_{2n}-S{2n+1})= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}=9 \Rightarrowa=b [/mm] $
Sei $ [mm] \epsilon>0, [/mm] $ dann $ [mm] \exists N_1,N_2\in\IN, \forall n\ge N_1: |a-S_{2n}|<\epsilon [/mm] $ und $ [mm] n\ge N_2: |a-S_{2n+1}|<\epsilon [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \forall n\ge \limes_{n\rightarrow\infty}S_{n}=a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 26.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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