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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz der Folge
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Konvergenz der Folge: Hilfe bei der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Mi 10.02.2016
Autor: rsprsp

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Folge
[mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit

[mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{cos^2(n)-sin^3(n)}{n^2-4n-1} [/mm]

konvergiert, und geben Sie den Grenzwert an.

Ich konnte feststellen, dass [mm] Cos^2(n) [/mm] sich im Intervall von [0,1] und [mm] Sin^3(n) [/mm] [-1,1] bewegt Also das Invervall für das Ganze ist[-1,2]Richtig?
Man kann jetzt eigentlich behaupten, dass die Folge beschränkt ist.

Grenzwert der Folge ist 0 da  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^2 (\bruch{cos^2(n)}{n^2} -\bruch{sin^3(n)}{n^2})}{n^2(1-\bruch{4n}{n^2}-\bruch{1}{n^2})} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] = 0

Kann mir jemand weiterhelfen und sagen ob mein Grenzwert richtig berechnet/bestimmt wurde?


        
Bezug
Konvergenz der Folge: sieht (fast) gut aus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mi 10.02.2016
Autor: Loddar

Hallo rsprsp!


> Ich konnte feststellen, dass [mm]Cos^2(n)[/mm] sich im Intervall
> von [0,1] und [mm]Sin^3(n)[/mm] [-1,1] bewegt

[ok]

> Also das Invervall für das Ganze ist[-1,2]Richtig?

Fast. Diese Abschätzung liegt auf der sicheren Seite. [ok]

In Wirklichkeit ist hier das Intervall gar nur [mm] $\left[ \ -1 \ ; \ +1 \ \right]$ [/mm] , wenn man genauer hinsieht.
Aber das ändert nichts an der Argumentation für Deine Folge.


> Man kann jetzt eigentlich behaupten, dass die Folge
> beschränkt ist.

[ok] Auch uneigentlich.


> Grenzwert der Folge ist 0 da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]> := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^2 (\bruch{cos^2(n)}{n^2} -\bruch{sin^3(n)}{n^2})}{n^2(1-\bruch{4n}{n^2}-\bruch{1}{n^2})}[/mm] = [mm]\bruch{0}{1}[/mm] = 0

[ok]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz der Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Mi 10.02.2016
Autor: rsprsp

Ich soll ja auch die Konvergenz beweisen? Könnten Sie mir dabei helfen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz der Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Do 11.02.2016
Autor: leduart

Hallo
einfach ein n angeben, für das [mm] a_n< \epsilon. [/mm] dazu den Zähler durch 2 vergrößern, den nenne verkleinern etwa durch [mm] n^2/2 [/mm]
Gruß leduart

Bezug
                                
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Konvergenz der Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Do 11.02.2016
Autor: rsprsp

Das ist ja mein Problem ich weiß nicht wie ich das zu machen habe und was ich für n wählen soll.
Könntest du mir mal den Anfang zeigen?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz der Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Do 11.02.2016
Autor: fred97

Du willst also mit [mm] \varepsilon [/mm] zeigen, dass [mm] $a_n= \bruch{cos^2(n)-sin^3(n)}{n^2-4n-1} [/mm] $ eine Nullfolge ist.

1. Mach Dir klar, dass [mm] n^2-4n-1 \ge n^2/2 [/mm] ist für n [mm] \ge [/mm] 9.

2. Damit haben wir

  [mm] |a_n-0|=|a_n|=\bruch{|cos^2(n)-sin^3(n)|}{n^2-4n-1} \le \bruch{2}{n^2-4n-1} \le \bruch{4}{n^2} \le \bruch{4}{n} [/mm]

Jetzt Du.

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz der Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Do 11.02.2016
Autor: rsprsp


> Du willst also mit [mm]\varepsilon[/mm] zeigen, dass [mm]a_n= \bruch{cos^2(n)-sin^3(n)}{n^2-4n-1}[/mm]
> eine Nullfolge ist.
>  
> 1. Mach Dir klar, dass [mm]n^2-4n-1 \ge n^2/2[/mm] ist für n [mm]\ge[/mm]
> 9.
>  
> 2. Damit haben wir
>  
> [mm]|a_n-0|=|a_n|=\bruch{|cos^2(n)-sin^3(n)|}{n^2-4n-1} \le \bruch{2}{n^2-4n-1} \le \bruch{4}{n^2} \le \bruch{4}{n}[/mm]

ist doch jetzt

[mm] \bruch{4}{n} \le \bruch{4}{n_0} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

oder soll ich das weiter abschätzen?

Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] > [mm] \bruch{4}{\varepsilon} [/mm]


>
> Jetzt Du.
>  
> FRED

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz der Folge: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Do 11.02.2016
Autor: Loddar

Hallo rsprsp!


> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Für alle n [mm]\ge n_0[/mm] > [mm]\bruch{4}{\varepsilon}[/mm]

[ok]


Gruß
Loddar

Bezug
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