Konvergenz beweisen rek. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mi 18.11.2009 | | Autor: | S11m00n |
| Aufgabe | Seien [mm]x_0 \not= x_1[/mm] reelle Zahlen und für n ≥ 2 definiere: [mm]x_n = \bruch{x_{n-1} +x_{n-2}}{2}[/mm].Zeige dass die Folge [mm]x_n[/mm] konvergiert.
Hinweis: Du kannst beim Beweis erst zeigen, dass gilt |[mm] x_{n+1} - x_n| = \bruch {1}{2^{n}} *x_1 - x_0[/mm] |
Mir ist klar, dass in diesem Forum ein Lösungsansatz erwartet wird, aber genau da liegt mein Problem. Falls also jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte (gerne auch etwas ausführlicher) wäre ich sehr dankbar.
Ich denke, dass die Folge konvergiert, da es sich im Zähler um die Fibonaccifolge handelt und alle neuen Folgenglieder durch 2 dividiert werden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]x_0 \not= x_1[/mm] reelle Zahlen und für n ≥ 2
> definiere: [mm]x_n = \bruch{x_{n-1} +x_{n-2}}{2}[/mm].Zeige dass die
> Folge [mm]x_n[/mm] konvergiert.
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> Hinweis: Du kannst beim Beweis erst zeigen, dass gilt |[mm] x_{n+1} - x_n| = \bruch {1}{2^{n}} *x_1 - x_0[/mm]
Richtig:|[mm] x_{n+1} - x_n| = \bruch {1}{2^{n}} *|x_1 - x_0|[/mm]
>
> Mir ist klar, dass in diesem Forum ein Lösungsansatz
> erwartet wird, aber genau da liegt mein Problem. Falls also
> jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte (gerne auch
> etwas ausführlicher) wäre ich sehr dankbar.
Zeige zunächst induktiv: |[mm] x_{n+1} - x_n| = \bruch {1}{2^{n}} *|x_1 - x_0|[/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Dann zeige induktiv: (Induktion nach p): für p,n [mm] \in \IN:
[/mm]
$| [mm] x_{n+p} [/mm] - [mm] x_n| \le |x_0-x_1|(\bruch{1}{2^n}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{1}{2^{n+p-1}})$
[/mm]
Denke an das Cauchykriterium !!
FRED
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> Ich denke, dass die Folge konvergiert, da es sich im
> Zähler um die Fibonaccifolge handelt und alle neuen
> Folgenglieder durch 2 dividiert werden.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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