Konvergenz beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] $\lim_n a_n=0$. [/mm] Zeigen, dass
[mm] $\lim_n\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\lvert a_i\rvert=0$. [/mm] |
Hallo liebe Mathematiker,
ich habe ein Problem damit, diesen Beweis zu führen.
Kann mir bitte jemand helfen?
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Ich habe auch noch gar keinen richtigen Ansatz, nur: Weil die Folge gegen 0 konvergiert, gibt's zu beliebigem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ eine Zahl [mm] $N(\varepsilon)$, [/mm] so dass [mm] $\lvert a_n\rvert [/mm] < [mm] \varepsilon~\forall~n\geqslant N(\varepsilon)$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Fr 05.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Tipp: GOOgle [mm] \to [/mm] Cauchyscher Grenzwertsatz
FRED
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Ok, da [mm] $a_n\to [/mm] 0$ folgt [mm] $\lvert a_n\rvert\to [/mm] 0$ und daraus folgt [mm] $\lvert a_{n-1}\rvert\to [/mm] 0$ und somit nach dem Satz, den Du verlinkt hast
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\lvert a_i\rvert=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\lvert a_{i-1}\rvert=0$.
[/mm]
Ja?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Fr 05.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, da [mm]a_n\to 0[/mm] folgt [mm]\lvert a_n\rvert\to 0[/mm] und daraus
> folgt [mm]\lvert a_{n-1}\rvert\to 0[/mm] und somit nach dem Satz,
> den Du verlinkt hast
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\lvert a_i\rvert=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\lvert a_{i-1}\rvert=0[/mm].
nein, Du kannst den Satz von Fred nicht benutzen, wenn Deine Aufgabe
darin besteht, einen Spezialfall dieses Satzes zu beweisen. Damit Du
den Wald trotz der ganzen Bäume noch besser siehst:
Schau' Dir
![[]](/images/popup.gif) diesen Beweis
an. Imitiere den Beweis für den Spezialfall [mm] $a=0\,.$ [/mm] Und natürlich: Nicht einfach
nur abschreiben, sondern angucken, weglegen, und danach dann versuchen,
selbstständig den Beweis aufzuschreiben. Dann siehst Du nämlich auch, ob
Du die Argumente überhaupt verstanden hast!
P.S. Also: Erstmal den Cauchyschen Grenzwertsatz beweisen. Danach
kannst Du ihn meinetwegen auch auf Deine Aufgabe anwenden:
Aus [mm] $a_n \to [/mm] 0$ folgt [mm] $|a_n| \to [/mm] 0$ und daher
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n |a_{k-1}| =0\,.$
[/mm]
Und dass
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1} a_{k}=\sum_{\ell=1}^{n} a_\ell$
[/mm]
gilt, ist doch nur ein einfacher Indexshift. Was Du da mit [mm] $|a_{n-1}| \to [/mm] 0$ wolltest,
das weiß ich nicht...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Fr 05.09.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Was man hier auch beachten/mitnehmen sollte (es steht auch im
Wiki-Link):
Diese *gemittelte Summe* hat 'nen Namen, es ist das sogenannte
Cesàro-Mittel.
Dem begegnet man in der Approximationstheorie des öfteren...
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