Konvergenz bei Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Lilith |
| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k³}{k!} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie, dass die Reihen konvergieren und bestimmen sie den Grenzwert:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}}{2^k} [/mm] |
Guten Abend!
Ich sitze gerade an meinem Aufgaben Blatt und habe bei diesen beiden Aufgaben Probleme.
Bei Aufgabe 1 hab ich das Quotientenkriterium angewendet und stecke an folgender Stelle fest:
[mm] \bruch{(k+1)³ * k!}{(k+1)! * k³} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)³}{(k+1) * k³} [/mm]
Ich hab versucht einfach (k+1)³ aus zu multiplizieren, aber damit komme ich auch nicht so wirklich weiter. Wäre super, wenn mir hier jemand einen kleinen Tipp geben könnte :) vielleicht hab ich mich ja auch irgendwo vertan.
Und bei der 2ten Aufgabe bin ich mir gar nicht sicher, welches Kriterium ich hier am besten Anwenden sollte.
Schon mal Danke!
Liebe Grüße,
Lilith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lilith!
> Bei Aufgabe 1 hab ich das Quotientenkriterium angewendet
> und stecke an folgender Stelle fest:
>
> [mm]\bruch{(k+1)³ * k!}{(k+1)! * k³}[/mm] = [mm]\bruch{(k+1)³}{(k+1) * k³}[/mm]
Das sieht doch schon mal ganz gut aus ... forme wir wéiter um zu:
$... \ = \ [mm] \bruch{1}{k+1}*\bruch{(k+1)^3}{k^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k+1}*\left(\bruch{k+1}{k}\right)^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k+1}*\left(1+\bruch{1}{k}\right)^3 [/mm] \ =\ ...$
Und nun Grenzwertbetrachtung für [mm] $k\rightarrow\infty$ [/mm] ...
Bei der 2. Aufgabe kannst Du Dir das Kriterium fast aussuchen, es klappt mit dem Wurzelkriterium, mit dem Quotientenkriterium und auch mit dem Leibniz-Kriterium.
Für den Grenzwert dann an die geometrische Reihe denken ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Lilith |
Super! Danke für die schnelle Hilfe!
Stimmt der Grenzwert 0 bei Aufgabe 1? Oder hab ich mich vertan?
Und ich hab bei Aufgabe 2 in der Zwischenzeit noch ein wenig rum probiert und hänge nun schon wieder fest ;(
[mm] \bruch{(-1)^{k+2} * 2^k}{2^{k+1} * (-1)^{k+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{k+2}}{2 * (-1)^{k+1}}
[/mm]
... und was mach ich dann? Oder hab ich mich da schon irgendwo vertan?
Liebe Grüße,
Liliah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lilith!
> Stimmt der Grenzwert 0 bei Aufgabe 1?
Ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Was heißt das jetzt für die Konvergenz / Divergenz dieser Reihe?
> Und ich hab bei Aufgabe 2 in der Zwischenzeit noch ein
> wenig rum probiert und hänge nun schon wieder fest ;(
>
> [mm]\bruch{(-1)^{k+2} * 2^k}{2^{k+1} * (-1)^{k+1}}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{k+2}}{2 * (-1)^{k+1}}[/mm]
Nun noch etwas kürzen, den Betrag nehmen und wie lautet das Ergebnis? Ist es größer oder kleiner als $1_$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Lilith |
Wenn 0 der Grenzwert von Aufgabe 1 ist , dann ist die Folge konvergent.
Und bei der 2ten Aufgabe seh ich ehrlich gesagt gerade nicht, was ich da kürzen kann oder besser gesagt, ich weiß nicht ob ich so kürzen darf... aber kanns sein, dass der Grenzwert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist?
Und noch mal vielen Dank für die schnelle Reaktion :)
Lilith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Lilith |
Ups.. in meinen Unterlagen hatte ich auch Reihe geschrieben.
Vielen, vielen Dank für die schnelle und nette Hilfe :)
Liebe Grüße,
Lili
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