Konvergenz bei Folgen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:56 Mi 07.11.2007 | | Autor: | H8U |
Seien [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] und [mm] (b_n)_n_\in_\IN [/mm] Folgen in [mm] \IK (\IK=\IR [/mm] oder [mm] \IC). [/mm] Beweisen Sie bzw geben Sie ein Gegenbeispiel an für jede der folgenden Behauptungen:
a) [mm] (a_n^2)_n_\in_\IN [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] (|a_n|)_n_\in_\IN [/mm] konvergiert.
b) Ist [mm] (a_n_+_1-a_n)_n_\in_\IN [/mm] eine Nullfolge, so konvergiert [mm] (a_n)_n_\in_\IN.
[/mm]
Hinweis zu a): Unterscheiden Sie zwischen [mm] \IK=\IR [/mm] und [mm] \IK=\IC.
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm] und [mm](b_n)_n_\in_\IN[/mm] Folgen in [mm]\IK (\IK=\IR[/mm]
> oder [mm]\IC).[/mm] Beweisen Sie bzw geben Sie ein Gegenbeispiel an
> für jede der folgenden Behauptungen:
> a) [mm](a_n^2)_n_\in_\IN[/mm] konvergiert genau dann, wenn
> [mm](|a_n|)_n_\in_\IN[/mm] konvergiert.
> b) Ist [mm](a_n_+_1-a_n)_n_\in_\IN[/mm] eine Nullfolge, so
> konvergiert [mm](a_n)_n_\in_\IN.[/mm]
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> Hinweis zu a): Unterscheiden Sie zwischen [mm]\IK=\IR[/mm] und
> [mm]\IK=\IC.[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
welches ist denn Deine Frage?
Ich sehe bisher nur die Aufgaben.
Wie weit bist Du gekommen? Womit hast Du Probleme?
Kennst Du die Begriffe Konvergenz und Nullfolge und kannst deren Definition aufschreiben?
Wie hast Du versucht, daß in Deckung mit den Aufgaben zu bringen?
Da Du noch nicht so lange hier bist und es vielleicht noch nicht getan hast, lies Dir bitte einmal die Forenregeln durch, insbesondere den Passus über eigene Lösungsansätze.
Wenn wir nicht wissen, was Du (nicht) kannst, können wir ja nicht effiktiv helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 08.11.2007 | | Autor: | thomas_d |
| Aufgabe | Wie weit bist Du gekommen? Womit hast Du Probleme?
Kennst Du die Begriffe Konvergenz und Nullfolge und kannst deren Definition aufschreiben? |
die begriffe sind mir klar mein problem ist nur das ich keinen ansatz finde
wie kann ich denn zeigen das eine solche folge monoton wAchsend ist???
gruß tom
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> wie kann ich denn zeigen das eine solche folge monoton
> wAchsend ist???
Hallo,
irgenwie paßt Deine Frage nicht zu H8Us Aufgabe...
Was meinst Du mit "solche Folge"?
Wenn [mm] (a_n) [/mm] Deine Folge ist, ist sie monoton wachsend, wenn [mm] a_{n+1}-a_n>0 [/mm] ist für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Wenn die Folgenglieder allesamt [mm] \not=0 [/mm] sind, kannst Du es auch so formulieren:
[mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend <==> [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}>1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:37 So 11.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Def.Konvergenz: (Grenzwert)
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (an) in X heißt konvergent gegen den Grenzwert a wenn gilt:
[mm] \left(\lim_{n \to \infty} a_n = a \right) \quad \Longleftrightarrow \quad \forall {\varepsilon > 0} [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ N [mm] \in \mathbb{N} \; \forall [/mm] \ n > N: [mm] \quad [/mm] d(a, [mm] a_n) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
In Worten: Es gibt für jedes beliebige (noch so kleine) ε einen Index N (i.A. abhängig von ε), derart, dass für alle Indizes n > N (alle weiteren Folgenglieder) gilt: der Abstand d (a, an) ist kleiner als ε.
Def.Nullfolge:
In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge (meist von reellen Zahlen), die gegen 0 konvergiert (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten reellen Zahl und einer Nullfollge dargestellt werden.
Zum Beispiel ist die Folge [mm] (2^{-n}) [/mm] = (1, [mm] \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \cdots) [/mm] in den reellen Zahlen eine Nullfolge.
So weit, so gut. Dennoch hilft dies mir alles nichts,wenn ich es nicht anwenden kann. wie soll man an aufgabe a) zum beispiel nur rangehen?? Bitte gebt uns einen Ansatz.LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo blueeyes!
Bei Aufgabe a.) müsst ihr die entsprechende Behauptung in beide Richtungen zeigen. Also sowohl [mm] $a_n^2 [/mm] \ [mm] \text{konvergent} [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \left|a_n\right| [/mm] \ [mm] \text{konvergent}$ [/mm] als auch andersrum.
Ansatz:
[mm] $$a_n^2 [/mm] \ [mm] \text{konvergent} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] \left| \ a_n^2-a^2 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left(a_n-a\right)*\left(a_n+a\right) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left|a_n-a\right|*\left|a_n+a\right| [/mm] \ < \ ...$$
Aufgabe b.):
[mm] $$\left| \ a_{n+1}-a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_{n+1}-a-a_n+a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left(a_{n+1}-a\right)-\left(a_n-a\right) \ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left| \ a_{n+1}-a \ \right|+\left| \ a_n-a \ \right| [/mm] \ < \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 12.11.2007 | | Autor: | H8U |
bei a) muss ja dann irgendwann rauskommen, dass [mm] |a_n| [/mm] auch wieder konvergiert. mir ist nur unklar, wie man darauf kommen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mo 12.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir doch mal die Definition von [mm] |a_n| [/mm] im reellen und komplexen an.
Nimm im Komplexen mal die Folge [mm] a_n=e^{i*r*n} [/mm] r reell
schreibe auf, was [mm] |a_n| [/mm] konvergent bedeutet, was [mm] a_n^2 [/mm] konv. bedeutet und sieh dir nochmal Loddars Hilfen an!
Gruss leduart
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Also, ich kann dir sagen,dass der Betrag einer komlexen Zahl reel und größer oder gleich Null ist und einen Imaginärteil ungleich Null hat.
Der Betrag einer reellen Zahl ist dagegen eine reelle Zahl selber und größer oder gleich Null. Wie man dieses aber nun auf die Aufgabe anwenden könnte,kann ich leider nicht sagen. Könnte jemand bitte helfen? LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Sa 17.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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