Konvergenz Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] X_n, [/mm] X, [mm] Y_n [/mm] und Y [mm] \IR^d-wertige [/mm] Zufallsvariablen, mit
[mm] X_n \to [/mm] X, [mm] Y_n \to [/mm] Y, jeweils in Verteilung für n [mm] \to \infty
[/mm]
Außerdem sei für jedes n [mm] \in \IN x_n [/mm] unabhängig von [mm] Y_n [/mm] und X unabhängig von Y. Zeigen Sie: Für n [mm] \to \infty [/mm] gilt
a) [mm] (X_n, Y_n) \to [/mm] (X,Y)
b) [mm] (X_n, X_n) \to [/mm] (X,X)
Hinweis: Stetigkeitssatz von Lévy |
also zuerst mal hab ich grad keine Ahnung, welche Konvergenz da überhaupt zu zeigen ist. das is die erste frage :D
allerdings hilft mir die antwort wahrscheinlich auch nicht weiter, einen gescheiten ansatz zu finden.
ich hab überlegt die charakteristische funktion [mm] \phi_{(X_n,Y_n)} [/mm] (sollte eigentlich ein kleines phi sein, aber find ich grad nicht) zu gehen, klingt ja auch sinnvoll mit dem hinweis, aber was tu ich damit dann?
feststellen, dass die charakteristische funktion für n [mm] \to \infty [/mm] gegen die von (X,Y) konvergiert?
oder bin ich da grad komplett auf dem holzweg?
ich hoffe mal da steigt einer durch was ich meine :D
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Fry |
Hey,
würde sagen, dass das genau der richtige Weg ist.
Zu a):
[mm]\phi_{(X_n,Y_n)}(s,t)=\int e^{i(s,t)\bullet(X_n,Y_n)}dP=\int e^{isX_n+itY_n}dP=\phi_{sX_n+tY_n}(1)[/mm]
Damit brichst du den mehrdimensionalen Fall auf den eindimensionalen runter.
Nun gilt, da die [mm] $X_n$ [/mm] und [mm] $Y_n$ [/mm] und $X$,$Y$ unabhängig sind, gilt
[mm]sX_n+tY_n\overset{d}{\longrightarrow}sX+tY[/mm] und damit nach dem Stetigkeitssatz von Lèvy
[mm]\phi_{sX_n+tY_n}(1)\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\phi_{sX+tY}(1)[/mm]
Jetzt nur noch die selben Umformungen von oben rückwärts machen und dann erneut Stetigkeitssatz von Levy benutzen.
VG
Fry
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