Konvergenz Theorem < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:19 So 29.06.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | Es seien ZVen [mm] (X_n)_(n \in \IN) [/mm] und X gegeben, so dass [mm] X_n \to^p [/mm] X,
desweiteren existiert eine [mm] L^1-integrierbare [/mm] ZV Y für die gilt [mm] X_n \le [/mm] Y p-f.s. für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann auch die [mm] L^1-Konvergenz [/mm] von [mm] X_n [/mm] gegen X (n [mm] \to \infty) [/mm] folgt, d.h.: [mm] X_n \to^{L^1} [/mm] X. |
Hallo!
Ist meine Rechnung so richtig?
Vielen Dank!
Janett
edit******
Oh nein. Wo ist denn meine Rechnung hin?
Hier also noch einmal:
Weil E{ [mm] {X_n}^p [/mm] } [mm] \le [/mm] E{ [mm] Y^p [/mm] } < [mm] \infty, X_n \in L^1. [/mm]
Für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 { [mm] X>Y+\varepsilon [/mm] } [mm] \subset [/mm] { [mm] X>X_n+\varepsilon [/mm] } [mm] \subset [/mm] { [mm] X-X_n>\varepsilon [/mm] }
[mm] \Rightarrow P(X>Y+\varepsilon) \le P(X-X_n>\varepsilon) [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(X>Y+\varepsilon) \le \limes_{n\rightarrow\infty} P(X-X_n>\varepsilon) [/mm] = 0 nach Annahme
Das gilt für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0
[mm] \Rightarrow [/mm] P(X>Y) [mm] \le \limes_{m\rightarrow\infty} P(X>Y+\bruch{1}{m})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \le [/mm] Y p-f.s.
[mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \in L^1 [/mm] auch
Sei [mm] X_n [/mm] nicht gegen X [mm] L^1 [/mm] konvergiert
[mm] \Rightarrow [/mm] Folgt [mm] (n_k), [/mm] so dass E{ [mm] |X_n_k [/mm] - [mm] X|^p [/mm] } [mm] \ge \varepsilon [/mm] für k [mm] \in \IN, \varepsilon [/mm] > 0.
Folge [mm] X_n_k [/mm] konvergiert gegen X. [mm] X_n_k_j [/mm] konvergiert p-f.s. gegen X.
[mm] X_n_k_j [/mm] - X f.s. zu Null bei j -> [mm] \infty, [/mm] solange <2Y, so nach Lebesgue-Konvergenz [mm] \Rightarrow [/mm] E{ [mm] |X_n_k_j [/mm] - [mm] X|^p [/mm] } -> 0
E{ [mm] |X_n_k [/mm] - X| ^p } [mm] \ge \varepsilon [/mm] für k [mm] \in \IN.
[/mm]
Ich weiß leider nicht, wie ich [mm] n_k [/mm] als Indizie ans X bzw. [mm] k_j [/mm] als Indizie ans [mm] X_n [/mm] machen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 So 29.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Janett
> Es seien ZVen [mm](X_n)_(n \in \IN)[/mm] und X gegeben, so dass [mm]X_n \to^p[/mm]
> X,
> desweiteren existiert eine [mm]L^1-integrierbare[/mm] ZV Y für die
> gilt Y [mm]\le[/mm] Y p-f.s. für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
Du meinst sicher: [mm] $X_n [/mm] le Y$ p-f.s. fuer alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] oder?
> Zeigen Sie, dass
> dann auch die [mm]L^1-Konvergenz[/mm] von [mm]X_n[/mm] gegen X (n [mm]\to \infty)[/mm]
> folgt, d.h.: [mm]X_n \to^{L^1}[/mm] X.
>
> Ist meine Rechnung so richtig?
Welche Rechnung?
LG Felix
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