Konvergenz Majo./Minoran < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k}) [/mm] |
Nach O.Forster Analysis I §7 ff ist [mm] \bruch{1}{k} [/mm] eine divergente Minorante zu [mm] ln(1+\bruch{1}{k}) \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k}) [/mm] > [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] ln(1+\bruch{1}{k}) [/mm] > [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] ln(1+\bruch{1}{k})>\bruch{1}{k} /e^x [/mm] ; [mm] 1+\bruch{1}{k} [/mm] > [mm] e^\bruch{1}{k} [/mm] ; [mm] k(\bruch{1}{k}+1)>ke^\bruch{1}{k} [/mm] ; [mm] 1+k>ke^\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] 1+k = k+1
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} ke^\bruch{1}{k}, [/mm] = k
[mm] \Rightarrow1) 1+k>ke\bruch{1}{k} \Rightarrow2) \summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k}>\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} \Rightarrow3) \summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k} [/mm] ist divergent.
Vielen Danke für die Korrektur
SM
|
|
| |
|
Hallo Semimathematiker!
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} ke^\bruch{1}{k},[/mm] = k
Wie kommst du darauf? Das erschließt sich mir nicht.
Vorschlag:
Verwende für [mm] $\ln\left(1+\bruch{1}{k}\right) [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{k}$ [/mm] den entsprechenden Potenzreihenansatz für [mm] $\ln(1+x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
