Konvergenz, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Fr 09.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe 1 | 10a)
Zeigen Sie mit der Definition der Konvergenz von Folgen, dass die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{n}= \bruch{n}{5} [/mm] - [mm] \lfloor \bruch{n}{5} \rfloor [/mm] nicht konvergent ist.
Notiz: bei Gaußklammern wird der Inhalt der Klammer immer auf die nächste ganze Zahl abgerundet. |
| Aufgabe 2 | Die Fibonacci-Folge [mm] f_{n} [/mm] ist rekursiv definiert durch [mm] f_{1} [/mm] = [mm] f_{2} [/mm] :=1 und [mm] f_{n+2} [/mm] := [mm] f_{n} [/mm] + [mm] f_{n+1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt : [mm] f_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n).
[/mm]
b) Die Folge [mm] (g_{n}, g_{n} [/mm] := [mm] \bruch{f_{n+1}}{f_{n}} [/mm] konvergiert, und es gilt g = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] |
Guten Abend Leute,
nachdem ich meine LinA Aufgaben glücklicherweise mit meiner Lerngruppe zusammen hingekriegt habe ohne hier diese Woche Rückfragen stellen zu müssen, verzweifeln wir ein wenig an unserem neuesten Analysis Übungsblatt.
Ich habe hier die Aufgaben 10a) und 12a) gepostet, weil ich Rückfragen zu diesen Aufgaben habe.
bei 10a) würde ich gerne wissen, ob diese Aufgabe mit meinem Lösungsvorschlag erledigt ist.
Ich nehme an, dass die Folge konvergiert und es demnach einen Grenzwert a geben muss. Da wir den Grenzwert a nicht kennen, unterscheide ich zwischen a [mm] \ge [/mm] 0 und a < 0.
für a [mm] \ge [/mm] 0:
Wir wählen epsilon beliebig mit epsilon = [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Durch Einsetzen erfahre ich, dass die Werte der Folge [mm] a_{n} [/mm] in fünferschritten aufsteigend bei 0, [mm] \bruch{1}{5}, \bruch{2}{5}, \bruch{3}{5}, \bruch{4}{5} [/mm] liegen.
Hier nochmal die Definition der Konvergenz, auf die ich mich beziehe:
Zu jedem epsilon > 0 existiert N [mm] \in \IN, [/mm] so dass für alle n [mm] \ge [/mm] N [mm] |a_{n}-a|
Ich wähle freiheraus n = 5N (darf ich das denn?!) und epsilon = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und erhalte:
[mm] |\bruch{5N}{5}- \lfloor \bruch{5N}{5} \rfloor [/mm] -a| = |N-N-a| = |-a| [mm] \ge [/mm] epsilon. Darauf folgt a [mm] \ge [/mm] epsilon = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Für den zweiten Fall a < 0 wähle ich epsilon = 1
es gilt [mm] |a-a_{n}| [/mm] = [mm] |a-(\bruch{5N}{5} [/mm] - [mm] \lfloor \bruch{5N}{5} \rfloor [/mm] | = |a| < 1 = epsilon.
dies wäre mein ansatz und ich hoffe, dass das kein totaler humbug ist.
hier 12a)
Für [mm] f_{n} [/mm] mit n=1 und n=2 habe ich gezeigt, dass 1 rauskommt. Als nächstes möchte ich dies für beliebige n tun.
Zwischendurch kam mir die Idee es mit einer vollständigen Induktion zu versuchen, aber diese Idee habe ich verworfen und will es einfach durch Einsetzen zeigen.
Ich habe zunächst nur die rechte Seite, wo [mm] f_{n}+f_{n+1} [/mm] stehen bearbeitet:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}+(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1})
[/mm]
Ich habe bei der Umformung schon alles erdenklich probiert, u.a. den Exponenten n+1 zu [mm] ()^{n}+()^{1} [/mm] aufgesplittet, [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] ausgeklammert, verzweifle zum schluss aber immer daran, dass ich keine Ahnung habe, wie ich einen Ausdruck mit [mm] ()^{n} [/mm] + [mm] ()^{n+1} [/mm] zu [mm] ()^{n+2} [/mm] umformen soll ...
Hat hier irgendjemand Ideen, Anregungen oder Kritik? Ich wäre für jeglichen Hilfe dankbar.
Grüße und einen schönen Abend,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Fr 09.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. zur ersten Aufgabe
du hast nur gezeigt, dass für die Folge die [mm] a_n [/mm] ,it n=5m gegen 0 konvergiert. (bzw konstant =0 ist, wenn du jetzt noch zeigst, dass die Folge [mm] a_n [/mm] mit n=5k+1, oder allgemein 5k+r r=1,2,3,4 konstant r/5 ist bist du fertig. eine folge die konvergiert, mussen die Teilfolgen gegen denselben GW konvergieren.
zur 2.
[mm] f_n+f_{n+1} [/mm] bilden, aus dem 1. +Term, deinem $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}+(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1}) [/mm] $
[mm] (\bruch{1+\sqrt{5}}{2}^{n+1} [/mm] ausklammern, den Rest auf [mm] HN=1+\wurzel{5} [/mm] bringen, dann mit mit [mm] \1-\wurzel{5} [/mm] erweitern da man das ergebnis glaubt muss dann in der Klammer
[mm] bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] sein.
entsprechend beim 2.ten Term.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 09.11.2012 | | Autor: | zjay |
ich habe mir jetzt erstmal nur die zweite aufgabe angeschaut und befürchte, dass ich dich falsch verstanden habe.
hier die folgenden schritte ab
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}((\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}+(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1}*(\bruch{1}{\bruch{1+\wurzel{5}}{2}}+1) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n+1}*(\bruch{2}{1+\wurzel{5}}+\bruch{1+\wurzel{5}}{1+\wurzel{5}})
[/mm]
und jetzt soll ich mit [mm] \wurzel{-5} [/mm] erweitern? hab ich dich falsch verstanden oder hast du dich vertippt? ich würde an dieser stelle eher noch mit [mm] (1-\wurzel{-5}) [/mm] erweitern, aber auch so komme ich nicht auf einen grünen zweig. das ergebnis der klammer wäre dann [mm] \bruch{\wurzel{5}+2}{4}.
[/mm]
Ziel deiner Umformung war es doch auch letztendlich Linker Seite = Rechte Seite zu erhalten, oder?
mfg und danke für die bisherige Hilfe,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, ich hatte mich verschrieben und nicht mit vorschau kontrolliert, wofür ich andere anmeckere. natürlich mit [mm] 1-\sqrt{5} [/mm] erweitern um den Nenner rational zu machen.
Zähler davor zusammenfassen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Fr 09.11.2012 | | Autor: | zjay |
noch eine kleine rückfrage zur ersten aufgabe:
1.) wie darf ich meine ergebnisse interpretieren. Für a [mm] \ge [/mm] 0 er halte ich ja |-a| [mm] \ge [/mm] 0 bzw. a [mm] \ge [/mm] 0 und für a < 0 erhalte ich |a| > epsilon = 1 (willkürlich gewählt). Ich freue mich natürlich darüber, dass du der Meinung bist, dass alles richtig sei, aber ich kann meiner Rechnung nicht entnehmen, dass ich einen grenzwert von 0 raushabe.
2.) wenn ich dasselbe für [mm] a_{n} [/mm] mit n=5k+1 durchkaue, erhalte ich
| [mm] \bruch{5k+1}{5}- \lfloor \bruch{5N+1}{5} \rfloor [/mm] -a|
= | N+ [mm] \bruch{1}{5} [/mm] - [mm] \lfloor N+\bruch{1}{5} \rfloor [/mm] -a|
Gibt es da irgendwelche Rechenregeln für die Gaußklammern, die ich berücksichtigen muss/kann?
Bisher habe ich mein n bewusst so gewählt, dass ich die Gaußklammern ignorieren konnte. Kann ich das auch weiterhin tun, wenn noch der Bruch [mm] \bruch [/mm] {1}{5} nebst N in der Gaußklammer steht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Lamia |
Überlege Dir, wie [mm] \lfloor \bruch{n}{5} \rfloor [/mm] für n [mm] \not= [/mm] 5k, k [mm] \in \IN [/mm] konkret aussieht. Du könntest beispielsweise für die ersten 10 n's die Folgenglieder berechnen. Dann siehst Du da eine Regelmäßigkeit und kannst $ [mm] \lfloor \bruch{n}{5} \rfloor [/mm] $ allgemein ohne die Gaußklammern ausdrücken. So habe ich es zumindest gemacht. Ich hab dann übrigens für die 2 Teilfolgen Bedingungen nach der Definition der Konvergenz aufgestellt, also unter der Annahme, dass die Folge konvergent sei. Dann habe ich die zwei Bedingungen zu einem Widerspruch geführt. So ähnlich wie wir es bei [mm] (-1)^n [/mm] gemacht haben. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Fr 09.11.2012 | | Autor: | zjay |
Also die Regelmäßigkeit ist mir schon bewusst.
Ich denke dies habe ich bereits im ersten Beitrag irgendwo gepostet, dass
für n=1,2,3,4 die Differenz 0,2;0,4;0,6;0,8 beträgt und sich ab n=5 wiederholt. Das war eine meiner ersten Überlegungen zu dieser aufgabe.
Meist du, dass ich angeben soll: sei n=5N+1 mit N [mm] \in \IN [/mm] (0 eingeschlossen), dann ist die Differenz von [mm] \bruch{n}{5}- \lfloor \bruch{n}{5} \rfloor [/mm] = 0,2 und arbeite damit weiter? Das könnte ich mir noch vorstellen.
Und auf welche beiden Teilfolgen beziehst du dich? Sei bitte konkreter. Ich vermute, dass du n=5k und n=5k+1 meinst, bin mir aber nicht sicher ob du damit etwas anderes meinst (/meinen könntest).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Lamia |
Okay. Mit n=5N+1 kannst Du aber nicht alle n [mm] \not= [/mm] Vielfaches von 5 fassen. Deswegen habe ich angenommen, dass Dir die Regelmäßigkeit noch nicht klar war, tschuldigung.
Ich habe (an) in zwei Teilfolgen betrachtet:
- falls n = 5k, k [mm] \in \IN: [/mm] an = 0
- falls n [mm] \not= [/mm] 5k, k [mm] \in \IN: [/mm] an = [mm] \bruch{n_{0}}{5}, n_{0} \in [/mm] {1,2,3,4}
Wie Fred habe ich dann angenommen, (an) wäre konvergent, dann habe ich die Def. der Konvergenz auf meine beiden Teilfolgen angewendet und die beiden daraus resultierenden Bedingungen zu einem Widerspruch geführt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Sa 10.11.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
ich hatte nicht gesagt, dass du das richtig gemacht hast, nur wenn du [mm] a_n=5m [/mm] hast dann ist der GW=0
wenn du n=5m+r r=1,2,3,4 hast gilt für alle Folgeglieder [mm] a_n=r/5
[/mm]
d.h.du hast 5 Teilfolgen, die gegen 6 verschiedene GW konvergieren, bzw die konstant sind. dann kann die Folge nicht konvergieren,
du kannst es auch explizit hinschreiben [mm] a_n=5m+r m\in\IN [/mm] r=0,1,2,3,4
dann ist [mm] a_n=(5m+r)/5-[(5m+r)/5]=m+r/5-m=r/5 [/mm] da r/5<1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Sa 10.11.2012 | | Autor: | zjay |
Achso,
jetzt verstehe ich was du meinst.
D.h. die Unterscheidung zwischen einem Grenzwert [mm] a\ge [/mm] 0 und a < 0 ist hier vollkommen irrelevant?
Das verwirrt mich nur ein wenig, weil wir in der Übungsstunde eine ähnliche Aufgabe mit [mm] a_{n}=1^{n} [/mm] hatten, wo die Divergenz dieser Folge gezeigt werden sollte.
Da wurde vom Übungsleiter zwischen [mm] a\ge [/mm] 0 und a < 0 unterschieden.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss nur gezeigt werden, dass 2 Teilfolgen gegen unterschiediche Grenzwerte konvergieren und damit wäre gezeigt, dass diese Folge nicht konvergent ist, da Teilfolgen einer konvergenten Reihe immer gegen denselben Grenzwert konvergieren.
In diese Art der Lösung ist die Definition der Konvergenz von Folgen nicht explizit eingebaut, oder? Dies ist nämlich Teil meiner Aufgabenstellung und teilweise auch Grund warum ich "zwanghaft" versucht habe [mm] |a_{n}-a| [/mm] < epsilon in die Aufgabe miteinzubauen.
grüße,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Sa 10.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achso,
>
> jetzt verstehe ich was du meinst.
>
> D.h. die Unterscheidung zwischen einem Grenzwert [mm]a\ge[/mm] 0 und
> a < 0 ist hier vollkommen irrelevant?
Ja
>
> Das verwirrt mich nur ein wenig, weil wir in der
> Übungsstunde eine ähnliche Aufgabe mit [mm]a_{n}=1^{n}[/mm]
> hatten, wo die Divergenz dieser Folge gezeigt werden
> sollte.
>
> Da wurde vom Übungsleiter zwischen [mm]a\ge[/mm] 0 und a < 0
> unterschieden.
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss nur gezeigt
> werden, dass 2 Teilfolgen gegen unterschiediche Grenzwerte
> konvergieren und damit wäre gezeigt, dass diese Folge
> nicht konvergent ist, da Teilfolgen einer konvergenten
> Reihe immer gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Ja
>
> In diese Art der Lösung ist die Definition der Konvergenz
> von Folgen nicht explizit eingebaut, oder? Dies ist
> nämlich Teil meiner Aufgabenstellung und teilweise auch
> Grund warum ich "zwanghaft" versucht habe [mm]|a_{n}-a|[/mm] <
> epsilon in die Aufgabe miteinzubauen.
Nimm mal an, die Folge wäre konvergent. Ihren Grenzwert nennen wir a.
Dann muß doch [mm] |a_{5m}-a| [/mm] beliebig klein werden, wenn m hinreichend groß ist.
Nun ist [mm] |a_{5m}-a|=|a| [/mm] für alle m. Dann muß zwangsläufig a=0 sein.
Ebenso muß [mm] |a_{5m+1}-a| [/mm] = [mm] |a_{5m+1}-0| [/mm] beliebig klein werden, wenn m hinreichend groß ist.
Geht das ?
FRED
>
> grüße,
>
> zjay
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
> Achso,
>
> jetzt verstehe ich was du meinst.
>
> D.h. die Unterscheidung zwischen einem Grenzwert [mm]a\ge[/mm] 0 und
> a < 0 ist hier vollkommen irrelevant?
>
> Das verwirrt mich nur ein wenig, weil wir in der
> Übungsstunde eine ähnliche Aufgabe mit [mm]a_{n}=1^{n}[/mm]
Du meinst sicher [mm] $(\red{\;-\;}1)^n\,.$
[/mm]
> hatten, wo die Divergenz dieser Folge gezeigt werden
> sollte.
> Da wurde vom Übungsleiter zwischen [mm]a\ge[/mm] 0 und a < 0
> unterschieden.
Ja, denn er hat angenommen, dass diese Folge konvergent sei - und da
man dieser Folge "nicht ansehen kann, ob deren Grenzwert [mm] $\ge [/mm] 0$ oder
$< 0$ sein MUSS, wenn er existiert", musste er beide Fälle betrachten.
(Er hätte auch anders argumentieren können, indem er durch betrachten
von (einer geeigneten) Teilfolge einerseits zeigt, dass der Grenzwert,
unter der Annahme der Existenz, $> [mm] 0\,$ [/mm] sein muss, und andererseits...
Das können wir nachher auch nochmal durchgehen!)
Bei der Folge [mm] $a_n=n/5-\lfloor n/5\rfloor$ [/mm] gilt
[mm] $$a_n \ge [/mm] 0 [mm] \text{ für alle }n\,.$$
[/mm]
Nun kann man leicht beweisen:
Ist [mm] $(r_n)_n$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] $r_n \red{\;\ge\;}0$ [/mm] für alle
(bis auf endlich viele) [mm] $n\,,$ [/mm]
oder
[mm] $r_n \red{\;>\;}0$ [/mm] für alle (bis auf endlich viele) [mm] $n\,,$ [/mm]
so folgt im Falle der Konvergenz von [mm] $(r_n)_n\,,$ [/mm] wenn wir dann den
Grenzwert [mm] $r\,$ [/mm] nennen, dass notwendig
$$r [mm] \red{\;\ge\;} [/mm] 0$$
gilt!
Deswegen wäre oben der Fall $a < [mm] 0\,$ [/mm] irrelevant - mal abgesehen davon,
dass man mit der vorgeschlagenen Beweismethode eh keine
Fallunterscheidung dieser Art braucht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 10a)
>
> Zeigen Sie mit der Definition der Konvergenz von Folgen,
> dass die Folge [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]a_{n}= \bruch{n}{5}[/mm] - [mm]\lfloor \bruch{n}{5} \rfloor[/mm]
> nicht konvergent ist.
das kann man so machen, wie Leduart es vorgeschlagen hat, aber
man kann man es hier auch wirklich kurz machen (man braucht nicht
[mm] $n=5k+r\,$ [/mm] für alle $k=0,...,4$ zu betrachten - es reichen zwei(!) dieser [mm] $r\,$):
[/mm]
Es ist offenbar (beweise das (kurz)!)
[mm] $$(a_{5k})_k \equiv (0)_k\,,$$
[/mm]
woraus [mm] $a_{5k} \to [/mm] 0 [mm] \quad [/mm] (k [mm] \to \infty)$ [/mm] folgt,
aber (ebenfalls kurz beweisen!)
[mm] $$a_{5k+1}=1/5 \to [/mm] 1/5 [mm] \not=0 \quad(k \to \infty)\,.$$
[/mm]
Daraus folgt die Divergenz von [mm] $(a_n)_n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 11.11.2012 | | Autor: | zjay |
guten Abend,
hier mein finaler Lösungsvorschlag:
Wir gehen davon aus, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergent sei, dann sei a Grenzwert von [mm] a_{n}. [/mm] Indem wir zeigen, dass zwei Teilfolgen der Folge [mm] a_{n}, [/mm] n=5N und n=5N+1, unterschiedliche Häufungspunkte haben, d.h. gegen unterschiedliche Werte konvergieren, beweisen wir, dass die Folge nicht konvergent ist.
Definition von Konvergenz: Zu jedem epsilon > 0 existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass für alle n [mm] \ge [/mm] N [mm] |a_{n}-a| [/mm] < epsilon gilt.
für n=5N und epsilon=1/2
|5N/5 - [mm] \lfloor5N/5 \rfloor [/mm] -a | = | N-N-a | = |-a|= a < epsilon = 1/2
Für die Teilfolge n=5N konvergiert [mm] a_{n} [/mm] gegen 0.
für n=5N+1
wir definieren: sei n=5N+1 mit N [mm] \in \IN \cup [/mm] {0}, dann sei die Differenz von n/5 - [mm] \lfloor [/mm] n/5 [mm] \rfloor [/mm] = 0,2
Also gilt
| (5N+1)/5 - [mm] \lfoor [/mm] (5N+1)/5 [mm] \rfloor [/mm] -a | = | 0,2 -a | < epsilon = 1/2.
Diese Teilfolge konvergiert gegen 0,2.
Da die Teilfolgen n=5N und n=5N+1 unterschiedliche Grenzwerte (nennt man diese hier auch Häufungspunkte?) besitzen und Teilfolgen einer konvergenten Folge per Definition gegen denselben Grenzwert konvergieren, ist [mm] a_{n} [/mm] nicht konvergent. Tatsächlich handelt es sich um eine periodische Folge.
Ist das alles schlüssig und richtig?
Und ich hätte noch eine kleine Nachfrage zu freds Argumentation:
warum gilt | [mm] a_{n} [/mm] - a | = | a | ? Ich hätte dies gerne näher erläutert.
Vielen Dank erstmal für die zahlreichen Hilfestellungen,
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wir gehen davon aus, dass die Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergent sei,
> dann sei a Grenzwert von [mm]a_{n}.[/mm] Indem wir zeigen, dass zwei
du willst zeigen, dass [mm] a_n [/mm] nicht konvergent ist, warum dann erst annehmen es sei konvergent.
mach es richtig, die Folge hat 5 konstante Teilfolgen oder auch mindestens 2 verschiedene (konstante) Teilfolgen mit jeweils verschiedenen GW, -das musst du zeigen-
deshalb ist sie nicht konvergent.
> Teilfolgen der Folge [mm]a_{n},[/mm] n=5N und n=5N+1,
> unterschiedliche Häufungspunkte haben, d.h. gegen
> unterschiedliche Werte konvergieren, beweisen wir, dass die
> Folge nicht konvergent ist.
>
> Definition von Konvergenz: Zu jedem epsilon > 0 existiert
> ein N [mm]\in \IN,[/mm] so dass für alle n [mm]\ge[/mm] N [mm]|a_{n}-a|[/mm] <
> epsilon gilt.
>
> für n=5N und epsilon=1/2
>
> |5N/5 - [mm]\lfloor5N/5 \rfloor[/mm] -a | = | N-N-a | = |-a|= a <
> epsilon = 1/2
>
> Für die Teilfolge n=5N konvergiert [mm]a_{n}[/mm] gegen 0.
>
> für n=5N+1
>
> wir definieren: sei n=5N+1 mit N [mm]\in \IN \cup[/mm] {0}, dann sei
> die Differenz von n/5 - [mm]\lfloor[/mm] n/5 [mm]\rfloor[/mm] = 0,2
>
> Also gilt
>
> | (5N+1)/5 - [mm]\lfoor[/mm] (5N+1)/5 [mm]\rfloor[/mm] -a | = | 0,2 -a | <
> epsilon = 1/2.
wieso musst du das hier mit dem [mm] \epsilon [/mm] machen, und schon gar nicht mit einem speziellen
> Diese Teilfolge konvergiert gegen 0,2.
du hast direkt für n=5N+1 ist die Folge konstant =0,2.
wenn du unbedingt was mit der Def. machen musst dann [mm] |a_n-0.2|=0<\epsilon [/mm] für jedes [mm] \epsilon>0
[/mm]
dazu solltest du noch schreiben, dass [(5n+1)/5]=[n+1/5]=n
usw. also die 0.2 zeigen.
> Da die Teilfolgen n=5N und n=5N+1 unterschiedliche
> Grenzwerte (nennt man diese hier auch Häufungspunkte?)
> besitzen und Teilfolgen einer konvergenten Folge per
> Definition gegen denselben Grenzwert konvergieren, ist
> [mm]a_{n}[/mm] nicht konvergent. Tatsächlich handelt es sich um
> eine periodische Folge.
>
> Ist das alles schlüssig und richtig?
ja
> Und ich hätte noch eine kleine Nachfrage zu freds
> Argumentation:
>
>
> warum gilt | [mm]a_{n}[/mm] - a | = | a | ? Ich hätte dies gerne
> näher erläutert.
das gilt für n=5N weil da ja [mm] a_n=0 [/mm] ist
das stand da auch nur für den Fall.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 So 11.11.2012 | | Autor: | zjay |
Danke nochmal.
Ich hatte vorhin nicht nachgedacht und die ersten Zeilen einer alten Lösung abgeschrieben.
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