Konvergenz, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Fr 27.11.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Folge
[mm] c_{1} [/mm] = 1
[mm] c_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + c_{n}} [/mm] , [mm] n\ge [/mm] 2
konvergiert und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert |
Nach meiner Überlegung müsste die Folge doch so laufen:
[mm] c_{0}= [/mm] 0
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + c_{0}} [/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + c_{1}} [/mm]
.
.
.
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + c_{n-1}} [/mm]
Was ich jetzt nicht ganz verstehe ist nun was dieses [mm] n\ge [/mm] 2 genau sein soll? Die natürlichen Zahlen für [mm] \ge [/mm] 2 . Wie gehe ich nun damit in der Rechnung um?
Lg
Stevie
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Hallo Stevie,
ihr hatten bestimmt einen Satz, der aussagt, dass wenn eine Folge beschränkt und monton ist, diese auch konvergiert.
Wenn du also zeigen kannst, dass [mm] $c_n$ [/mm] konvergiert, dann weißt du, dass [mm] $c_{n+1}$ [/mm] gegen ein $c$ konvergiert, genauso wie [mm] $c_{n}$ [/mm] gegen ein $c$ konvergiert.
Es ergäbe sich (sofern du Monotonie und Beschränktheit gezeigt hast) eine Quadratische GLeichung die du lösen kannst!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Fr 27.11.2009 | | Autor: | StevieG |
Monotoniekriterium:
wenn eine Folge monoton wachsend oder fallend und nach oben oder unten beschränkt , so ist sie konvergent.
Das mit der quadratischen gleichung komm ich nicht drauf??
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Es ist doch [mm] $c_{n+1}=\wurzel{1+c_n}$. [/mm] Jetzt betrachte auf beiden Seiten den Grenzprozess!
Und dann musst du nur noch umstellen!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Fr 27.11.2009 | | Autor: | StevieG |
Du willst das ich auf beiden Seiten den Limes mache.
Das Problem ist das die Form der Folge eine weitere Folge enthält. Bei c n+1 liegt cn in der Gleichung.
Wie soll ich damit rechnen?
Stehe auf dem Schlauch.
lg
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Was ist denn [mm] $\infty$ [/mm] im Vergleich zu [mm] $\infty+1$?
[/mm]
Wenn du auf beiden Seiten $n [mm] \to \infty$ [/mm] gehen lässt, dann wird aus [mm] $c_n$ [/mm] ein $c$, genauso wie aus [mm] $c_{n+1}$ [/mm] ein $c$ wird!
Mehr kann man da eig. gar nicht so richtig erklären.
lg Kai
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