Konvergenz Fkt-Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche [mm] x\in\IR [/mm] konvergiert folgende Reihe:
[mm] \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}} [/mm] |
Ich habe schon herausgefunden, dass die Reihe für x>1 konvergiert. Meine letzte Abschätzung, die schließlich dazu führt, ist: [mm] \sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}
[/mm]
Für x>1 kann ich die nämlich noch weiter abschätzen. Aber für [mm] x\leq [/mm] 1 (bzw. [mm] x^{2k}\leq1) [/mm] funktioniert das nicht. Denn dann geht das Ganze für [mm] k\rightarrow\infty [/mm] gegen 1.
Außerdem habe ich noch das Problem, dass ich mir das alles für komplexes x überlegen muss. Dazu fehlt mir aber momentan völlig die Idee. Denn dann kann ich ja den Betrag nicht so einfach wie im Reellen "ausrechnen".
Kann mir irgendjemand helfen?
Danke! 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für welche [mm]x\in\IR[/mm] konvergiert folgende Reihe:
>
> [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> Ich habe schon herausgefunden, dass die Reihe für x>1
> konvergiert.
Das ist leider falsch ! Siehe unten.
> Meine letzte Abschätzung, die schließlich
> dazu führt, ist: [mm]\sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}[/mm]
Wo ? Wo ? Wo ist sie denn, die Abschätzung ?
> Für x>1 kann ich die nämlich noch weiter abschätzen.
Ja wie denn ?
> Aber für [mm]x\leq[/mm] 1 (bzw. [mm]x^{2k}\leq1)[/mm] funktioniert das
> nicht. Denn dann geht das Ganze für [mm]k\rightarrow\infty[/mm]
> gegen 1.
Mein Gott, Du sprichst in Rätseln
Überlege Dir: Für x [mm] \in \IR [/mm] mit |x|<1 oder |x|> 1 ist [mm] (\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}) [/mm] keine Nullfolge, also ist
$ [mm] \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}} [/mm] $ divergent.
Für x [mm] \in \IR [/mm] mit |x|=1 ist [mm] \frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}=0, [/mm] also $ [mm] \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}} [/mm] $ konvergent.
>
> Außerdem habe ich noch das Problem, dass ich mir das alles
> für komplexes x überlegen muss. Dazu fehlt mir aber
> momentan völlig die Idee. Denn dann kann ich ja den Betrag
> nicht so einfach wie im Reellen "ausrechnen".
Obige Aussagen für |x|<1 oder |x|>1 gelten auch im Komplexen. Nur für |x|=1 mußt Du Dir noch Gedanken machen.
FRED
>
> Kann mir irgendjemand helfen?
> Danke!
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> > Für welche [mm]x\in\IR[/mm] konvergiert folgende Reihe:
> >
> > [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> > Ich habe schon herausgefunden, dass die Reihe für x>1
> > konvergiert.
>
>
> Das ist leider falsch ! Siehe unten.
>
> > Meine letzte Abschätzung, die schließlich
> > dazu führt, ist: [mm]\sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}[/mm]
>
>
> Wo ? Wo ? Wo ist sie denn, die Abschätzung ?
>
>
> > Für x>1 kann ich die nämlich noch weiter abschätzen.
>
> Ja wie denn ?
>
Die komplette Abschätzung lautet:
[mm] \frac{\sqrt[k]{|1-x^{2k}|}}{\sqrt[k]{|1+x^{2k}|}}<\frac{\sqrt[k]{|1-x^{2k}|}}{\sqrt[k]{|x^{2k}|}}=\sqrt[k]{|1-\frac{1}{|x^{2k}|}}
[/mm]
für x>1 ist [mm] x^{2k}>1 [/mm] und damit ist
[mm] \sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}=\sqrt[k]{\frac{1}{x^{2k}}-1}<\sqrt[k]{\frac{1}{x^{2k}}}=\frac{1}{x^2}<1
[/mm]
damit habe ich hier Konvergenz.
für x<1 ist [mm] x^{2k}<1 [/mm] und damit ist
[mm] \sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}=\sqrt[k]{1-\frac{1}{x^{2k}}}\rightarrow1
[/mm]
Da ich oben ein < Zeichen habe, bin ich also jeweils <1 und habe damit in beiden Fällen Konvergenz.
Konvergenz für x=1 ist klar.
>
> Überlege Dir: Für x [mm]\in \IR[/mm] mit |x|<1 oder |x|> 1 ist
> [mm](\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}})[/mm] keine Nullfolge, also ist
>
> [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> divergent.
Das sehe ich nun wiederum nicht. Wieso sollte das Ganze denn keine Nullfolge sein?
> Für x [mm]\in \IR[/mm] mit |x|=1 ist [mm]\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}=0,[/mm]
> also [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> konvergent.
>
>
>
>
> >
> > Außerdem habe ich noch das Problem, dass ich mir das alles
> > für komplexes x überlegen muss. Dazu fehlt mir aber
> > momentan völlig die Idee. Denn dann kann ich ja den Betrag
> > nicht so einfach wie im Reellen "ausrechnen".
>
>
> Obige Aussagen für |x|<1 oder |x|>1 gelten auch im
> Komplexen. Nur für |x|=1 mußt Du Dir noch Gedanken
> machen.
>
Bei |x|=1 habe ich das Problem, dass dann der Nenner verschwindet. Also muss ich das ausschließen.
Stimmt das jetzt alles?
> FRED
> >
> > Kann mir irgendjemand helfen?
> > Danke!
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Di 08.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Für welche [mm]x\in\IR[/mm] konvergiert folgende Reihe:
> > >
> > > [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> > > Ich habe schon herausgefunden, dass die Reihe für
> x>1
> > > konvergiert.
> >
> >
> > Das ist leider falsch ! Siehe unten.
> >
> > > Meine letzte Abschätzung, die schließlich
> > > dazu führt, ist: [mm]\sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}[/mm]
> >
> >
> > Wo ? Wo ? Wo ist sie denn, die Abschätzung ?
> >
> >
> > > Für x>1 kann ich die nämlich noch weiter abschätzen.
> >
> > Ja wie denn ?
> >
>
> Die komplette Abschätzung lautet:
>
> [mm]\frac{\sqrt[k]{|1-x^{2k}|}}{\sqrt[k]{|1+x^{2k}|}}<\frac{\sqrt[k]{|1-x^{2k}|}}{\sqrt[k]{|x^{2k}|}}=\sqrt[k]{|1-\frac{1}{|x^{2k}|}}[/mm]
>
> für x>1 ist [mm]x^{2k}>1[/mm] und damit ist
>
> [mm]\sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}=\sqrt[k]{\frac{1}{x^{2k}}-1}<\sqrt[k]{\frac{1}{x^{2k}}}=\frac{1}{x^2}<1[/mm]
Das ist doch dummes Zeug ! für x>1 steht unter dieser Wurzel
[mm] \sqrt[k]{\frac{1}{x^{2k}}-1}
[/mm]
etwas negatives !!!
>
> damit habe ich hier Konvergenz.
>
> für x<1 ist [mm]x^{2k}<1[/mm] und damit ist
>
> [mm]\sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}=\sqrt[k]{1-\frac{1}{x^{2k}}}\rightarrow1[/mm]
>
> Da ich oben ein < Zeichen habe, bin ich also jeweils <1 und
> habe damit in beiden Fällen Konvergenz.
> Konvergenz für x=1 ist klar.
>
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> >
> > Überlege Dir: Für x [mm]\in \IR[/mm] mit |x|<1 oder |x|> 1 ist
> > [mm](\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}})[/mm] keine Nullfolge, also ist
> >
> > [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> > divergent.
>
>
> Das sehe ich nun wiederum nicht. Wieso sollte das Ganze
> denn keine Nullfolge sein?
Ist z. B. |x|<1, so stebt [mm] (x^{2k}) [/mm] gegen 0 und damit [mm] (\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}) [/mm] gegen 1.
FRED
>
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>
> > Für x [mm]\in \IR[/mm] mit |x|=1 ist [mm]\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}=0,[/mm]
> > also [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> > konvergent.
> >
> >
> >
> >
> > >
> > > Außerdem habe ich noch das Problem, dass ich mir das alles
> > > für komplexes x überlegen muss. Dazu fehlt mir aber
> > > momentan völlig die Idee. Denn dann kann ich ja den Betrag
> > > nicht so einfach wie im Reellen "ausrechnen".
> >
> >
> > Obige Aussagen für |x|<1 oder |x|>1 gelten auch im
> > Komplexen. Nur für |x|=1 mußt Du Dir noch Gedanken
> > machen.
> >
>
> Bei |x|=1 habe ich das Problem, dass dann der Nenner
> verschwindet. Also muss ich das ausschließen.
>
> Stimmt das jetzt alles?
>
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> > FRED
> > >
> > > Kann mir irgendjemand helfen?
> > > Danke!
> >
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> [mm]\frac{\sqrt[k]{|1-x^{2k}|}}{\sqrt[k]{|1+x^{2k}|}}<\frac{\sqrt[k]{|1-x^{2k}|}}{\sqrt[k]{|x^{2k}|}}=\sqrt[k]{|1-\frac{1}{|x^{2k}|}}[/mm]
> >
> > für x>1 ist [mm]x^{2k}>1[/mm] und damit ist
> >
> >
> [mm]\sqrt[k]{|1-\frac{1}{x^{2k}}|}=\sqrt[k]{\frac{1}{x^{2k}}-1}<\sqrt[k]{\frac{1}{x^{2k}}}=\frac{1}{x^2}<1[/mm]
>
> Das ist doch dummes Zeug ! für x>1 steht unter dieser
> Wurzel
>
> [mm]\sqrt[k]{\frac{1}{x^{2k}}-1}[/mm]
>
> etwas negatives !!!
Ok, stimmt, das ist in der Tat doof. Aber ich versuche es mal mit dieser Abschätzung (für x>1, also [mm] x^{2k}>1)
[/mm]
[mm] \frac{\sqrt[k]{|1-x^{2k}|}}{\sqrt[k]{|1+x^{2k}|}}=\sqrt[k]{\frac{x^{2k}-1}{1+x^{2k}}}=\sqrt[k]{\frac{x^{2k}}{1+x^{2k}}-\frac{1}{1+x^{2k}}}<\sqrt[k]{\frac{x^{2k}}{1+x^{2k}}}<\sqrt[k]{1}=1
[/mm]
und damit kleiner als 1.
> > >
> > > Überlege Dir: Für x [mm]\in \IR[/mm] mit |x|<1 oder |x|> 1 ist
> > > [mm](\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}})[/mm] keine Nullfolge, also ist
> > >
> > > [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> > > divergent.
> >
> >
> > Das sehe ich nun wiederum nicht. Wieso sollte das Ganze
> > denn keine Nullfolge sein?
>
> Ist z. B. |x|<1, so stebt [mm](x^{2k})[/mm] gegen 0 und damit
> [mm](\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}})[/mm] gegen 1.
>
Super, das sehe ich jetzt ein. Danke! :)
>
> FRED
> >
> >
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> >
> > > Für x [mm]\in \IR[/mm] mit |x|=1 ist [mm]\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}=0,[/mm]
> > > also [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1-x^{2k}}{1+x^{2k}}[/mm]
> > > konvergent.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Außerdem habe ich noch das Problem, dass ich mir das alles
> > > > für komplexes x überlegen muss. Dazu fehlt mir aber
> > > > momentan völlig die Idee. Denn dann kann ich ja den Betrag
> > > > nicht so einfach wie im Reellen "ausrechnen".
> > >
> > >
> > > Obige Aussagen für |x|<1 oder |x|>1 gelten auch im
> > > Komplexen. Nur für |x|=1 mußt Du Dir noch Gedanken
> > > machen.
> > >
> >
> > Bei |x|=1 habe ich das Problem, dass dann der Nenner
> > verschwindet. Also muss ich das ausschließen.
> >
> > Stimmt das jetzt alles?
> >
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> > > FRED
> > > >
> > > > Kann mir irgendjemand helfen?
> > > > Danke!
> > >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 11.02.2011 | | Autor: | matux |
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