Konvergenz/Divergenz, Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 17.11.2011 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe | Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:
d)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2+1}{k+3} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Durch das Quotientenkriterium kann ich keine Aussage machen, da für diese Reihe
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] = 1
ergibt. Das Leibnizkriterium kann ich auch nicht anwenden, da es sich nicht um eine alternierende Reihe handelt. Wurzelkriterium scheint mir auch nicht sinnvoll, so dass nur das Majorantenkriterium übrig bleibt.
Ich kenne folgende Majorante:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert
und Minorante:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] divergiert
Reicht nun für die Lösung der Aufgabe zu sagen:
[mm] \bruch{k^2+1}{k+3} [/mm] > [mm] \bruch{1}{k} [/mm] > [mm] \bruch{1}{k^2}
[/mm]
woraus folgt, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2+1}{k+3} [/mm] divergiert.
Ich sehe ja, dass der Zähler schneller anwächst als der Nenner.
Meine Fragen: Ist das überhaupt richtig, was ich gesagt habe.
Wenn ja, habe ich es formal korrekt auf geschrieben.
Besten dank schon mal.
Piet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:
> d)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2+1}{k+3}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Durch das Quotientenkriterium kann ich keine Aussage
> machen, da für diese Reihe
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] = 1
>
> ergibt. Das Leibnizkriterium kann ich auch nicht anwenden,
> da es sich nicht um eine alternierende Reihe handelt.
> Wurzelkriterium scheint mir auch nicht sinnvoll, so dass
> nur das Majorantenkriterium übrig bleibt.
>
> Ich kenne folgende Majorante:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm] konvergiert
>
> und Minorante:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] divergiert
>
> Reicht nun für die Lösung der Aufgabe zu sagen:
> [mm]\bruch{k^2+1}{k+3}[/mm] > [mm]\bruch{1}{k}[/mm] > [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm]
Die erste Ungl. ist richtig für k [mm] \ge [/mm] 2 und aus dieser folgt die Divergenz der vorgelegten Reihe.
Die zweite Ungl. brauchst Du nicht.
Einfacher sieht man die Divergenz so: die Folge der Reihenglieder ist keine Nullfolge.
FRED
>
> woraus folgt, dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2+1}{k+3}[/mm]
> divergiert.
>
> Ich sehe ja, dass der Zähler schneller anwächst als der
> Nenner.
>
> Meine Fragen: Ist das überhaupt richtig, was ich gesagt
> habe.
> Wenn ja, habe ich es formal korrekt auf geschrieben.
>
> Besten dank schon mal.
> Piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 17.11.2011 | | Autor: | piet86 |
Stimmt,
Ich hätte ja einfach das notwendige Konvergenzkriterium hier anwenden können.
Vielen Dank
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