Konvergenz/Divergenz Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 So 21.04.2013 | | Autor: | Prot |
| Aufgabe 1 | | Untersuchen Sie die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=(\frac{3n^4+3n-9}{6n^4-7n^2-n}\cdot cos(\frac{1}{2^n}))_{n\in \IN}$ [/mm] auf Konvergenz. |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $(b_n)_{n\in\IN}=(sin(n\frac{\pi}{2}))_{n\in \IN}$ [/mm] divergiert.
Hat [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine konvergente Teilfolge? Geben Sie ggf. eine solche Teilfolge an. Gegen welchen Grenzwert konvergiert sie? |
Ich möchte wissen ob die Überlegungen die ich zu diesen Aufgaben angestellt habe richtig sind.
Zu Aufgabe 1:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] besteht aus zwei Teilfolgen. [mm] $\frac{3n^4+3n-9}{6n^4-7n^2-n}$ [/mm] ist die erste. Diese Teilfolge konvergiert gegen [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm] Das lässt sich enteweder aus den Leitkoeffizienten ablesen oder durch ausklammern von [mm] $n^4$ [/mm] berechnen.
Die zweite Teilfolge [mm] $cos(\frac{1}{2^n})$ [/mm] ist beschränkt aber nicht konvergent, da sie immer Werte zwischen $1$ und $-1$ annimmt.
Was passiert jetzt aber genau wenn ich eine konvergente Folge mit einer beschränkten Folge multipliziere?
Zu Aufgabe 2:
Kann ich hier als Argument einfach sagen, dass auch $sin(x)$ nur Werte zwischen $1$ und $-1$ annehmen kann und somit zwar beschränkt aber nicht konvergent ist?
Außerdem ist die einzige Teilfolge von [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$, $(n\frac{\pi}{2})$. [/mm] Diese Teilfolge ist nicht konvergent da sie mit steigendem $n$ immer weiter steigen wird.
Sind meine Ansätze richtig? Wenn ja sind meine Argumente auch schlüssig?
Vielen Dank im Voraus.
Prot
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie die Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN}=(\frac{3n^4+3n-9}{6n^4-7n^2-n}\cdot cos(\frac{1}{2^n}))_{n\in \IN}[/mm]
> auf Konvergenz.
> Zeigen Sie, dass die Folge
> [mm](b_n)_{n\in\IN}=(sin(n\frac{\pi}{2}))_{n\in \IN}[/mm]
> divergiert.
> Hat [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] eine konvergente Teilfolge? Geben Sie
> ggf. eine solche Teilfolge an. Gegen welchen Grenzwert
> konvergiert sie?
> Ich möchte wissen ob die Überlegungen die ich zu diesen
> Aufgaben angestellt habe richtig sind.
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> Die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] besteht aus zwei Teilfolgen.
> [mm]\frac{3n^4+3n-9}{6n^4-7n^2-n}[/mm] ist die erste. Diese
> Teilfolge konvergiert gegen [mm]\frac{1}{2}[/mm]. Das lässt sich
> enteweder aus den Leitkoeffizienten ablesen oder durch
> ausklammern von [mm]n^4[/mm] berechnen.
> Die zweite Teilfolge [mm]cos(\frac{1}{2^n})[/mm] ist beschränkt
> aber nicht konvergent, da sie immer Werte zwischen [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm]
> annimmt.
>
> Was passiert jetzt aber genau wenn ich eine konvergente
> Folge mit einer beschränkten Folge multipliziere?
Hallo,
Also ja dein erster Ausdruck konvergiert für n [mm] \to \infty [/mm] gegen [mm] \frac{1}{2} [/mm] , aber überlege doch mal was im Cosinus steht ... eine gegen 0 konvergente Folge , insofern ergibt hier der Cosinus = 1. und somit ist der Grenzwert genau [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Ganz generell ist es abhängig was du mit einer beschränkten Folge multiplizierst - ist der AUsdruck bestimmt, unbestimmt usw.
Lg Thomas
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> Zu Aufgabe 2:
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> Kann ich hier als Argument einfach sagen, dass auch [mm]sin(x)[/mm]
> nur Werte zwischen [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm] annehmen kann und somit zwar
> beschränkt aber nicht konvergent ist?
> Außerdem ist die einzige Teilfolge von [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm],
> [mm](n\frac{\pi}{2})[/mm]. Diese Teilfolge ist nicht konvergent da
> sie mit steigendem [mm]n[/mm] immer weiter steigen wird.
>
> Sind meine Ansätze richtig? Wenn ja sind meine Argumente
> auch schlüssig?
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Prot
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Prot,
da stimmt noch etwas nicht.
> Untersuchen Sie die Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN}=(\frac{3n^4+3n-9}{6n^4-7n^2-n}\cdot cos(\frac{1}{2^n}))_{n\in \IN}[/mm]
> auf Konvergenz.
> Zeigen Sie, dass die Folge
> [mm](b_n)_%7Bn%5Cin%5CIN%7D%3D(sin(n%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D))_%7Bn%5Cin%20%5CIN%7D[/mm]
> divergiert.
> Hat [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] eine konvergente Teilfolge? Geben Sie
> ggf. eine solche Teilfolge an. Gegen welchen Grenzwert
> konvergiert sie?
>
> Ich möchte wissen ob die Überlegungen die ich zu diesen
> Aufgaben angestellt habe richtig sind.
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> Die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] besteht aus zwei Teilfolgen.
Unter Teilfolgen versteht man Folgen, die aus einer Auswahl von Gliedern einer andern Folge bestehen. Hier aber zerlegst Du das Bildungsgesetz der Folge in zwei Faktoren, was natürlich möglich ist. Man würde nur nicht "Teilfolge" sagen. Du könntest formulieren: ich stelle die Folge [mm] a_n [/mm] als Produkt zweier anderer Folgen dar.
> [mm]\frac{3n^4+3n-9}{6n^4-7n^2-n}[/mm] ist die erste. Diese
> Teilfolge konvergiert gegen [mm]\frac{1}{2}[/mm]. Das lässt sich
> enteweder aus den Leitkoeffizienten ablesen oder durch
> ausklammern von [mm]n^4[/mm] berechnen.
Ja, richtig.
> Die zweite Teilfolge [mm]cos(\frac{1}{2^n})[/mm] ist beschränkt
> aber nicht konvergent, da sie immer Werte zwischen [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm]
> annimmt.
Das stimmt hier nicht. Der Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] ist doch ganz klar 1.
> Was passiert jetzt aber genau wenn ich eine konvergente
> Folge mit einer beschränkten Folge multipliziere?
Dann erhältst Du eine konvergente Folge, aber die Frage stellt sich hier nicht!
> Zu Aufgabe 2:
>
> Kann ich hier als Argument einfach sagen, dass auch [mm]sin(x)[/mm]
> nur Werte zwischen [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm] annehmen kann und somit zwar
> beschränkt aber nicht konvergent ist?
Na, das geht hier aber deutlich genauer. Bestimme doch mal die ersten 247 Folgenglieder.
> Außerdem ist die einzige Teilfolge von [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm],
> [mm](n%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)[/mm].
Auch das ist keine Teilfolge!
> Diese Teilfolge ist nicht konvergent da
> sie mit steigendem [mm]n[/mm] immer weiter steigen wird.
[mm] b_n [/mm] hat zwei offensichtliche Teilfolgen. Sie sollten Dir spätestens beim 4. Folgenglied auffallen.
> Sind meine Ansätze richtig? Wenn ja sind meine Argumente
> auch schlüssig?
Nein. Schau vor allem nochmal nach, was eine Teilfolge ist.
Grüße
reverend
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