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Konvergenz: Hilfe, Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Do 28.07.2011
Autor: Balsam

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} (-x)^n [/mm]  konvergiert.


Wie muss ich da vorgehen?

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Do 28.07.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Hallo,
>  
> ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
>  
> Bestimmen Sie alle x [mm]\in \IR,[/mm] für die
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} (-x)^n[/mm]  
> konvergiert.
>  
>
> Wie muss ich da vorgehen?

hast Du schonmal was vom []Konvergenzradius gehört? Das sollte helfen.

Gruß,

notinX

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Do 28.07.2011
Autor: Balsam

Hmm hilft mir folgendes weiter ? :


r [mm] =\bruch{1}{lim sup _(n->\infty)\wurzel[n]{|a_n|}} [/mm]

wenn ja , wie wende ich das an ?

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Do 28.07.2011
Autor: notinX


> Hmm hilft mir folgendes weiter ? :
>  
>
> r [mm]=\bruch{1}{lim sup _(n->\infty)\wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]

Das hilft auf jeden Fall, aber ich würde eher zu dem hier tendieren:
[mm] $r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|$ [/mm]

>  
> wenn ja , wie wende ich das an ?

Setze die gegebene Folge [mm] $a_n$ [/mm] ein und bestimme den Grenzwert.

Gruß,

notinX

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Do 28.07.2011
Autor: Balsam

Macht das einen Unterschied, ob man |a_(n+1) / [mm] a_n [/mm] | rechnet oder | [mm] a_n [/mm] / a_(n+1) |

in meinen Aufzeichnungen habe ich nur ersteres gefunden

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Do 28.07.2011
Autor: notinX


> Macht das einen Unterschied, ob man |a_(n+1) / [mm]a_n[/mm] |
> rechnet oder | [mm]a_n[/mm] / a_(n+1) |

Hier im Speziellen macht es keinen Unterschied, aber allgemein schon.

>  
> in meinen Aufzeichnungen habe ich nur ersteres gefunden

Lies mal genauer, da steht vermutlich sowas wie
[mm] $c=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg| [/mm] $ und [mm] $r=\frac{1}{c}$ [/mm]

Gruß,

notinX

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Do 28.07.2011
Autor: Balsam

Ich habe jetzt mal angefangen, weit bin ich jedoch nicht gekommen:

[mm] lim_(n->\infty) \bruch{\bruch{n+2}{\wurzel{n+1}}}{\bruch{1}{\wurzel{n}}} [/mm]

= lim_(n-> [mm] \infty) \bruch{n+2}{\wurzel{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n}}{1} [/mm]

so und weiter komm ich nicht.

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 Do 28.07.2011
Autor: notinX


> Ich habe jetzt mal angefangen, weit bin ich jedoch nicht
> gekommen:
>  
> [mm]lim_(n->\infty) \bruch{\bruch{n+2}{\wurzel{n+1}}}{\bruch{1}{\wurzel{n}}}[/mm]

Wie kommst Du darauf? Ich kann das nicht nachvollziehen.

>  
> = lim_(n-> [mm]\infty) \bruch{n+2}{\wurzel{n+1}}[/mm] *
> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{1}[/mm]
>  
> so und weiter komm ich nicht.

Die Regel gilt für Potenzreihen der Form:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ [/mm]
Bei diesem Beispiel geht es aber um [mm] $(-x)^n$ [/mm] ; Du musst also erstmal entsprechend umformen.
Wie lautet dann die korrekte Folge [mm] $a_n$? [/mm]

Gruß,

notinX

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Do 28.07.2011
Autor: Balsam

Jetzt aber:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-x)^n [/mm]  

[mm] a_n:= [/mm] 1 / [mm] \wurzel{n} [/mm]

[mm] lim_(n->\infty) \wurzel{n} [/mm] / [mm] \wurzel{n+1} [/mm] = 1 /1 =1

somit ist r=1

stimmt das so ? ..

wie bestimme ich aber die Werte für die, diese Reihe konvergiert ?

Bezug
                                                                        
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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Fr 29.07.2011
Autor: notinX


> Jetzt aber:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-x)^n[/mm]  

was soll das sein? Wolltest Du nicht den Konvergenzradius dieser Reihe
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} (-x)^n [/mm] $
bestimmen?

>
> [mm]a_n:=[/mm] 1 / [mm]\wurzel{n}[/mm]

Nein. Ich habe Dir doch den Hinweis gegeben, dass Du obige Potenzreihe erstmal auf diese Form
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ [/mm]
bringen musst. Dort steht ein '+' vor dem x, in der Reihe die Du berechnen willst steht ein '-' vor dem x. Durch eine Umformung musst Du diese Ungleichheit beheben.

>  
> [mm]lim_(n->\infty) \wurzel{n}[/mm] / [mm]\wurzel{n+1}[/mm] = 1 /1 =1

Hier fehlen Betragsstriche.

>
> somit ist r=1
>
> stimmt das so ? ..

Das Ergebnis stimmt, die Rechnung nicht.

>  
> wie bestimme ich aber die Werte für die, diese Reihe
> konvergiert ?

Der erste Satz in dem von mir verlinkten Artikel lautet:
"Als Konvergenzradius einer Potenzreihe (...) ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit [mm] $|x-x_0|
In Deinem Skript wirst Du vermutlich eine ähnliche Formulierung finden.

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Fr 29.07.2011
Autor: Balsam

Kann ich einfach mit -1 multiplizieren ..

Ich bin etwas überfordert.. ich habe ein Beispiel von der Übung hier liegen und mache das eigentlich auch danach, nur hatten wir da nie ein [mm] (-x)^n [/mm] .. sondern schon immer ein [mm] (x+3)^n [/mm] und da haben wir nix weiter dran geändert.

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Fr 29.07.2011
Autor: notinX


> Kann ich einfach mit -1 multiplizieren ..
>  
> Ich bin etwas überfordert.. ich habe ein Beispiel von der
> Übung hier liegen und mache das eigentlich auch danach,
> nur hatten wir da nie ein [mm](-x)^n[/mm] .. sondern schon immer ein
> [mm](x+3)^n[/mm] und da haben wir nix weiter dran geändert.

Daran braucht man ja auch nichts zu ändern, da es schon in der gewünschten Form ist.
Schau mal:
[mm] $(-x)^n=(-1\cdot x)^n=(-1)^nx^n$ [/mm]
Kannst Du damit was anfangen?

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 Fr 29.07.2011
Autor: mml2011

Da wär ich nie drauf gekommen -.-
Jedoch addieren sich die Exponenten bei einer Multiplikation doch, so dass man auf ^2n kommen würde, oder nicht ?


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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 Fr 29.07.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Da wär ich nie drauf gekommen -.-
>  Jedoch addieren sich die Exponenten bei einer
> Multiplikation doch, so dass man auf ^2n kommen würde,
> oder nicht ?

nein, das wäre nur bei gleicher Basis der Fall: [mm] $a^n*a^m=a^{m+n}$. [/mm] Bei unterschiedlichen Basen und gleichem Exponent gilt: [mm] $a^n\cdot b^n=(ab)^n$ [/mm]  

Gruß,

notinX

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:43 Fr 29.07.2011
Autor: Balsam

Gut, wir haben das in der Übung dann immer so gemacht, dass wir das aufgeteilt haben:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n (-1)^n [/mm] * [mm] x^n [/mm]

[mm] a_n:= [/mm] 1 / [mm] \wurzel{n} [/mm]

lim von [mm] a_n [/mm] betrachten und r=1 folgt, der rechenweg in meinem vorherigen post.

Jetzt sagst du aber, dass das falsch ist :/

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 Fr 29.07.2011
Autor: notinX


> Gut, wir haben das in der Übung dann immer so gemacht,
> dass wir das aufgeteilt haben:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (-1)^n[/mm] * [mm]x^n[/mm]

Das ist doch genau das was ich auch geschrieben habe.

>  
> [mm]a_n:=[/mm] 1 / [mm]\wurzel{n}[/mm]
>  
> lim von [mm]a_n[/mm] betrachten und r=1 folgt, der rechenweg in
> meinem vorherigen post.
>
> Jetzt sagst du aber, dass das falsch ist :/

Gucksdu hier:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ [/mm]
Die Folge [mm] $a_n$ [/mm] ist ALLES was vor [mm] $(x-x_0)^n$ [/mm] steht.
Also:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} (-x)^n=\summe_{n=1}^{\infty}\underbrace{\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}}_{=a_n}x^n$ [/mm]

Nochmal in aller Deutlichkeit: [mm] $a_n=\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}$ [/mm]
Aber wie ich schon sagte, das spielt für die Rechnung (in diesem Fall) keine Rolle, da ohnehin Betragsstriche drumkommen (welche Du auch vergessen hast ;-)). Ich wollte nur Dein mathematisches Feingefühl etwas schulen und sichergehen, dass Du den Unterschied erkennst :-)

Gruß,

notinX

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:12 Fr 29.07.2011
Autor: Balsam

okay demnach konvergiert meine reihe dann auch gegen 1, stimmtS?

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Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:16 Fr 29.07.2011
Autor: notinX


> okay demnach konvergiert meine reihe dann auch gegen 1,
> stimmtS?

Nein. Der Konvergenzradius ist 1.

Bezug
                                                                                                                                                
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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:20 Fr 29.07.2011
Autor: Balsam

Das ist mir ja klar.
Aber wogegen konvergiert sie ?

[mm] |x-x_0| [/mm] < r

[mm] x_0 [/mm] ist ja in diesem Fall 0 , und x dann auch oder wie

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:29 Fr 29.07.2011
Autor: notinX


> Das ist mir ja klar.

Mach Dir das wirklich klar. Es ist ein großer Unterschied ob die Reihe gegen 1 konvergiert oder ob sie den Konvergenzradius 1 hat.

> Aber wogegen konvergiert sie ?

Das ist doch gar nicht gefragt und das kann man auch nicht allgemein beantworten. Für jedes [mm] $x\in\{x:\,|x|<1\}$ [/mm] kann sie gegen einen anderen Wert konvergieren.

>  
> [mm]|x-x_0|[/mm] < r
>
> [mm]x_0[/mm] ist ja in diesem Fall 0 , und x dann auch oder wie

Nein, x ist zunächst beliebig und mit dem Konvergenzradius bestimmst Du alle x für die die Reihe konvergiert.

Gruß,

notinX

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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Fr 29.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo [mm]\not\in X[/mm]


> Nein, x ist zunächst beliebig und mit dem Konvergenzradius
> bestimmst Du alle x für die die Reihe konvergiert.


Das stimmt nicht ganz.

Man hat "nur" sicher Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>1[/mm]

Wie es an den Ränden [mm]|x|=1[/mm], also für [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht, ist unklar, das muss man noch untersuchen.



>  
> Gruß,
>  
> notinX

LG

schachuzipus


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Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:51 Fr 29.07.2011
Autor: notinX

Hallo schachuzipus,

> Hallo [mm]\not\in X[/mm]
>  
>
> > Nein, x ist zunächst beliebig und mit dem Konvergenzradius
> > bestimmst Du alle x für die die Reihe konvergiert.
>  
>
> Das stimmt nicht ganz.
>  
> Man hat "nur" sicher Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz
> für [mm]|x|>1[/mm]

na ja, war vielleicht eine schwammige Formulierung, aber ich habe ja im Prinzip nichts anderes behauptet, siehe:

"Das ist doch gar nicht gefragt und das kann man auch nicht allgemein beantworten. Für jedes $ [mm] x\in\{x:\,|x|<1\} [/mm] $ kann sie gegen einen anderen Wert konvergieren. "

und

"Der erste Satz in dem von mir verlinkten Artikel lautet:
"Als Konvergenzradius einer Potenzreihe (...) ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit $ [mm] |x-x_0|

>  
> Wie es an den Ränden [mm]|x|=1[/mm], also für [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht,
> ist unklar, das muss man noch untersuchen.
>  

Ja, das sollte man noch extra erwähnen.

>
>
> >  

> > Gruß,
>  >  
> > notinX
>
> LG
>  
> schachuzipus
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:07 Fr 29.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hallo schachuzipus,
>  
> > Hallo [mm]\not\in X[/mm]
>  >  
> >
> > > Nein, x ist zunächst beliebig und mit dem Konvergenzradius
> > > bestimmst Du alle x für die die Reihe konvergiert.
>  >  
> >
> > Das stimmt nicht ganz.
>  >  
> > Man hat "nur" sicher Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz
> > für [mm]|x|>1[/mm]
>  
> na ja, war vielleicht eine schwammige Formulierung, aber
> ich habe ja im Prinzip nichts anderes behauptet, siehe:
>  
> "Das ist doch gar nicht gefragt und das kann man auch nicht
> allgemein beantworten. Für jedes [mm]x\in\{x:\,|x|<1\}[/mm] kann
> sie gegen einen anderen Wert konvergieren. "

Ja, darum ging ja nicht ;-)

Du schreibst: Mit dem K-radius bestimmsdt du alle x, dür die die Reihe konvergiert ...

>  
> und
>
> "Der erste Satz in dem von mir verlinkten Artikel lautet:
>  "Als Konvergenzradius einer Potenzreihe (...) ist die
> größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für
> alle x mit [mm]|x-x_0|

Der letzte Zusatz fehlte ;-)

>  
> >  

> > Wie es an den Ränden [mm]|x|=1[/mm], also für [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht,
> > ist unklar, das muss man noch untersuchen.
>  >  
>
> Ja, das sollte man noch extra erwähnen.

Ja, damit beim OP nicht der Eindruck entsteht, dass schon alle x gefunden sind ;-=


>  
> >
> >
> > >  

> > > Gruß,
>  >  >  
> > > notinX
> >
> > LG
>  >  
> > schachuzipus
>  >  
>
> Gruß,
>  
> notinX


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