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| Aufgabe | [mm] (b_k) [/mm] sei eine beschränkte Folge reeller Zahlen und (ak) eine Folge positiver Zahlen.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (a_k) [/mm] ist konvergent.
Beh: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (a_k)*(b_k) [/mm] ist konvergent. |
Zum Beweis:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (a_k) [/mm] ist konvergent -> [mm] (a_k) [/mm] Nullfolge
[mm] b_k [/mm] beschränkt, -> lim [mm] b_k [/mm] = b
[mm] |\summe_{k=0}^{\infty} (a_k) [/mm] | < [mm] \varepsilon:= \bruch{\varepsilon}{b}
[/mm]
[mm] |\summe_{k=0}^{\infty} (a_k)*(b_k)| \le [/mm] | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (a_k)| [/mm] * | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (b_k)| [/mm] < [mm] \varepsilon´* [/mm] b = [mm] \varepsilon [/mm] -> Beh.
Kann sich diesen Beweis bitte jemand durchlesen und evtl. Hinweise geben.
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm](b_k)[/mm] sei eine beschränkte Folge reeller Zahlen und (ak)
> eine Folge positiver Zahlen.
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (a_k)[/mm] ist konvergent.
> Beh: [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (a_k)*(b_k)[/mm] ist konvergent.
> Zum Beweis:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (a_k)[/mm] ist konvergent -> [mm](a_k)[/mm]
> Nullfolge
O.K.
> [mm]b_k[/mm] beschränkt, -> lim [mm]b_k[/mm] = b
Quark ! eine beschränkte Folge muß nicht konvergieren !
> [mm]|\summe_{k=0}^{\infty} (a_k)[/mm] | < [mm]\varepsilon:= \bruch{\varepsilon}{b}[/mm]
Pardon, aber das ist völliger Unsinn !
>
> [mm]|\summe_{k=0}^{\infty} (a_k)*(b_k)| \le[/mm] |
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (a_k)|[/mm] * | [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (b_k)|[/mm]
> < [mm]\varepsilon´*[/mm] b = [mm]\varepsilon[/mm]
Auch das ist Unsinn
-> Beh.
Keineswegs
> Kann sich diesen Beweis bitte jemand durchlesen und evtl.
> Hinweise geben.
Dir scheint der Unterschied zwischen [mm] (a_k) [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] nicht klar zu sein.
Tipps: es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit: [mm] $|b_k| \le [/mm] c$ für jedes k.
Dann: [mm] $|a_k*b_k| [/mm] = [mm] a_k*|b_k| \le c*a_k$ [/mm] für alle k.
Die Beh. folgt nun aus dem Majorantenkriterium
FRED
> DANKE
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