Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 07.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Folgen in [mm] \IQ, [/mm] auf ihre Konvergenz in [mm] \IQ [/mm] und geben sie gegebenen Falls dan Grenzwert an.
[mm] (\bruch{(-1)^n}{n+1})_{n \in \IN } [/mm] |
Mir ist klar, dass die Folge konvergiert, aber ob ich das richtig gezeigt hab, da bin ich mir nicht sicher.
Hier der Versuch:
[mm] (\bruch{(-1)^n}{n+1})_{n \in \IN } [/mm]
sei [mm] \epsilon [/mm] > 0
[mm] |\bruch{(-1)^n}{n+1}-0|=\bruch{n}{n+1}<\bruch{1}{n}<\epsilon [/mm] => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^n}{n+1}=0
[/mm]
wäre das so korrekt?
Und wieso ist das so? Also warum konvergiert die Folge, wenn [mm] 1/n<\epsilon [/mm] ist?
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> Untersuchen Sie folgende Folgen in [mm]\IQ,[/mm] auf ihre Konvergenz
> in [mm]\IQ[/mm] und geben sie gegebenen Falls dan Grenzwert an.
> [mm](\bruch{(-1)^n}{n+1})_{n \in \IN }[/mm]
> Mir ist klar, dass die Folge konvergiert, aber ob ich das
> richtig gezeigt hab, da bin ich mir nicht sicher.
> Hier der Versuch:
> [mm](\bruch{(-1)^n}{n+1})_{n \in \IN }[/mm]
> sei [mm]\epsilon[/mm] > 0
>
> [mm]|\bruch{(-1)^n}{n+1}-0|=\bruch{n}{n+1}<\bruch{1}{n}<\epsilon[/mm]
> => [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^n}{n+1}=0[/mm]
> wäre das so korrekt?
> Und wieso ist das so? Also warum konvergiert die Folge,
> wenn [mm]1/n<\epsilon[/mm] ist?
Hallo,
witzige Frage, wenn der Beweis eigentlich dasteht...
Daß Du iriitiert bist, kommt daher, daß Du nicht haargenau der Def. für Konvergenz folgst.
Zeigen mußt Du doch:
für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 findet man ein passendes [mm] N\in \IN [/mm] so, daß für alle n, die größer als dieser Schwellenwert N sind, gilt
[mm] |a_n-0| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Oben hast Du schon die Nebenrechnung gemacht - am besten ganz geheim auf dem Schmierzettel.
Am Ende siehst Du: aha, n> [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] !
So, und nun machst Du's wie der Prof. in der Vorlesung, der wie ein Zauberer daherkommt:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und N> [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] . [mm] \qquad [/mm] (Aufgerissene Augen bei den einen, Raunen bei den anderen: "Fällt das jetzt vom Himmel?")
Für alle [mm] n\in \IN [/mm] mit n>N gilt
[mm] |a_n-0|=\bruch{1}{n+1}<\bruch{1}{n}< \bruch{1}{N}<\varepsilon. \qquad [/mm] (Ehrfürchtiges Staunen, während der Prof schon zwei Tafelseiten weiter ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 07.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ich glaube ich habe es so ungefähr verstanden, wie es geht.
Jetzt habe ich aber auch noch [mm] (\bruch{2^n}{n!})_{n \in \IN \backslash \{0 \}}
[/mm]
Hier weiß nicht wie ichs machen soll. Ich würde sagen Die Folge konvergiert, da bei größeren Zahlen der Zähler deutlich kleiner wird als der Nenner.
Aber wie zeige ich es.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:41 Sa 07.11.2009 | | Autor: | nooschi |
mit dem Quotientenkriterium geht das ganz gut (ich hoffe das kennst du):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup(\bruch{\bruch{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\bruch{2^{n}}{n!}}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup(\bruch{2}{n+1}) [/mm] = [mm] 2*\limes_{n\rightarrow\infty}sup(\bruch{1}{n+1}) [/mm] = 0 < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe konvergiert absolut
äääh sorry, ich habe gezeigt, dass die Reihe, also die Summe davon konvergiert
(aus dem folgt auch, dass die Folge gegen 0 konvergiert, denn die Reihe ist konvergent und monoton wachsend -> die Folge muss gegen 0 konvergieren)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
wenn die Partialsumme der Reihe (überhaupt) konvergiert, dann muss die Reihe selbst gegen null streben.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 07.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Leider haben wir noch keine solchen Konvergenzkriterien in der Vorlesung besprochen.
Diese Argumentation kann ich aber nicht verwenden, denn Reihen haben wir ja noch gar nicht definiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib mal [mm] 2^n=2*2*..*2 [/mm] und 2*3*4*..n drunter,dann solltest du sehen wie das geht und es auch genauer machen können.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 07.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Mir ist klar, dass [mm] 2^n [/mm] < n! für n [mm] \ge [/mm] 4
Aber ich weiß nicht wie ich das verwenden soll, um die Konvergenz zu zeigen. Das Problem ist also nicht die Tatsache an sich, sondern eher die Beweisführung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du das weisst kannst du doch auch ein N finden, sodass der Ausdruck für alle n>n kleiner [mm] \epsilon [/mm] wird. du musst ja [mm] 2^n/n! [/mm] nur abschätzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 07.11.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Oh man hey.
Ich verstehs einfach nicht.
Ich komm nicht drauf wie ich ein solches Probelm formal angehn soll.
Die Folge kovergiert, aber wie schreib ich das auf.
Du hast mir ja jetzt den tipp mit dem abschätzen gegeben. Problem ist, weiß nicht mit was. Meinst du mit einer andere Folge?
Wir haben aufgeschrieben:
[mm] (a_n)_{n \in \IN }, a_n \in [/mm] K
Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 , [mm] \epsilon \in [/mm] k und es gibt ein N = [mm] N(\epsilon [/mm] ) [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m|< \epsilon [/mm] für alle n,m [mm] \ge [/mm] N
Das heißt ja, die Folge konvergiert, wenn ein für jedes [mm] \espilon [/mm] eine endliche Anzahl an Folgeglieder finde die Größer sind als Epsilon (wird als N bezeichnet) und es unendlich viele gibt, die kleiner sind als [mm] \epsilon.
[/mm]
Sehe ich das richtig so?
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> Wir haben aufgeschrieben:
> [mm](a_n)_{n \in \IN }, a_n \in[/mm] K
> Für alle [mm]\epsilon[/mm] > 0 , [mm]\epsilon \in[/mm] k und es gibt ein N
> = [mm]N(\epsilon[/mm] ) [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_m|< \epsilon[/mm] für alle
> n,m [mm]\ge[/mm] N
Hallo,
Das, was Du aufgeschrieben hast, ist die Definition für Cauchyfolge, und da im [mm] \IR [/mm] jede Cauchyfolge konvergiert, kannst Du damit Konvergenz in [mm] \IR [/mm] nachweisen.
> Das heißt ja, die Folge konvergiert, wenn ein für jedes
> [mm]\espilon[/mm] eine endliche Anzahl an Folgeglieder finde die
> Größer sind als Epsilon (wird als N bezeichnet) und es
> unendlich viele gibt, die kleiner sind als [mm]\epsilon.[/mm]
> Sehe ich das richtig so?
Nein, Du siehst es komplett falsch.
Das, was Du aufgeschrieben hast bedeutet dies:
zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] findest Du einen Schwellenwert [mm] N_{\varepsilon} [/mm] so, daß ab diesem Schwellenwert beliebige darauffolgende Folgenglieder nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinanderliegen.
Wenn ich also m,n habe mit [mm] m,n>N_{\varepsilon}, [/mm] so ist [mm] |a_n- a_m|< \epsilon.
[/mm]
Für Deine Aufgabe ist die Frage, ob wir eine Cauchyfolge vorliegen haben, allerdings nicht relevant.
Denn was bringt uns diese Information? Wir wissen dann: aha, in [mm] \IR [/mm] konvergiert die Folge.
Wir wissen weder, ob der Grenzwert rational ist, noch, wie er lautet.
Nun die Definition für Konvergenz gegen a:
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a genau dann, wenn gilt:
für jedes $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0 findet man ein passendes $ [mm] N\in \IN [/mm] $ so, daß für alle n, die größer als dieser Schwellenwert N sind, gilt
$ [mm] |a_n-a| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon. [/mm] $
Das hatten wir doch oben schonmal besprochen für Konvergenz Deiner ersten Folge gegen die 0.
Der Nachteil dieser Def.: man muß schon wissen, wogegen die Folge konvergiert.
Aber das sollte im Fall der gerade bei Dir aktuellen Folge [mm] a_n:=\bruch{2^n}{n!} [/mm] doch kein Problem sein.
Ich würd', nachdem ich's mir mal ausgeschrieben habe, doch meinen, daß sie gegen 0 konvergiert.
Was müssen wir tun?
Zu vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N finden, so daß für alle n>N gilt [mm] |a_n-0| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Schauen wir uns das mal an: [mm] |a_n-0| =|a_n|= \bruch{2^n}{n!} [/mm]
Das müssen wir nun raffiniert abschätzen.
Für "groß genuges" n weißt Du: [mm] 2^n
Was passiert, wenn wir damit abschätzen?
[mm] |a_n-0| =|a_n|= \bruch{2^n}{n!}< \bruch{n!}{n!}=1.
[/mm]
das bringt nichts, denn wir können die 1 nicht nach oben durch [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen.
Neue Idee:
für "groß genuges" n gilt (n-1)!< [mm] 2^{n-1}.
[/mm]
damit haben wir [mm] |a_n-0| =|a_n|= \bruch{2^n}{n!}< \bruch{2*(n-1)!}{n!}=\bruch{2}{n}.
[/mm]
Und hieraus sollte sich doch eine Idee ergeben, wie man den Schwellenwert N wählen muß.
Dann kann der Beweis beginnen:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] N\in \IN [/mm] mit N> ....
Es ist für alle [mm] n>\IN \qquad |a_n-0| [/mm] = [mm] \bruch{2^n}{n!} [/mm] < ... ... ... ... [mm] <\varepsilon.
[/mm]
Je nachdem, wie weit Eure Mathematik gediehen ist, kannst Du übrigens den Grenzwert von $ [mm] (\bruch{2^n}{n!})_{n \in \IN \backslash \{0 \}} [/mm] $ auch ohne das [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] für Grenzwerte finden, indem Du Sätze über Grenzwerte benutzt, also mehr oder weniger direkt [mm] \lim_{n\to \infty}\bruch{2^n}{n!} [/mm] berechnest.
Gruß v. Angela
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