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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mi 17.12.2008
Autor: barsch

Aufgabe
Es soll gezeigt werden, dass

[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{\vektor{m \\ j}}{\vektor{m^j \\ j!}}=1 [/mm]

Hi,

an einer bestimmen Stelle ist's vorbei - zumindest mit meinen Fähigkeiten ;-)

Ich fange einfach mal an, und hoffe, es findet sich jemand, der es fortführen kann:


[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{\vektor{m \\ j}}{\vektor{m^j \\ j!}}=\limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{m!}{j!(m-j)!}}{\bruch{(m^j)!}{j!(m^j-j!)!}}=\limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{m*(m-1)***(m-j+1)}{j!}}{\bruch{(m^j)!}{j!(m^j-j!)!}} [/mm]  ([sorry], etwas klein geraten)

[mm] =\limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{m*(m-1)***(m-j+1)}{j!}\bruch{j!(m^j-j!)!}{(m^j)!} [/mm]

[mm] =\limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{m*(m-1)***(m-j+1)*(m^j-j!)!}{(m^j)!} [/mm]

[mm] =\ldots [/mm]

Ich nehme stark an, ich muss [mm] \bruch{(m^j-j!)!}{(m^j)!} [/mm] umformen, aber wie...?

MfG barsch
        
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:53 Mi 17.12.2008
Autor: barsch

Okay,

[mm] \bruch{(m^j-j!)!}{(m^j)!}=\bruch{1}{(m^j)*(m^j-1)***(m^j-j!+1)} [/mm]

Mal sehen, ob ich jetzt weiterkommen.

MfG
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Mi 17.12.2008
Autor: strangelet

hallo,
bist du sicher, dass es gegen 1 konvergieren soll? für j=2 würde es nämlich eher gegen 0 konvergieren, glaube ich.
Bezug
                
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:58 Mi 17.12.2008
Autor: barsch

Hi,

> hallo,
>  bist du sicher, dass es gegen 1 konvergieren soll?

ja. Die Aufgabe lautet genau so.

> für j=2 würde es nämlich eher gegen 0 konvergieren, glaube ich.

[kopfkratz]

MfG barsch
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:42 Mi 17.12.2008
Autor: strangelet

[mm]\bruch{\vektor{m \\ j}}{\vektor{m^j \\ j!}}=\bruch{\bruch{m!}{j!(m-j)!}}{\bruch{(m^j)!}{(j!)!(m^j-j!)!}}=\bruch{(j!)!*m!*(m^j-j!)!}{j!*(m-j)!*(m^j)!}[/mm]

j=2:

[mm]\bruch{(2!)!*m!*(m^2-2!)!}{2!*(m-2)!*(m^2)!}=\bruch{m!*(m^2-2)!}{(m-2)!*(m^2)!}=\bruch{m*(m-1)}{m^2*(m^2-1)}=\bruch{1}{m*(m+1)}[/mm]

konvergiert gegen 0 für [mm]m\rightarrow\infty[/mm]

oder habe ich einen fehler eingebaut?

mfg strangelet

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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Mi 17.12.2008
Autor: barsch

Hi,

hatte mich selbst oben verrechnet.

Du hast Recht. Merkwürdig. [kopfkratz2]

Danke.

MfG barsch
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:06 Mi 17.12.2008
Autor: strangelet

[mm]\bruch{\vektor{m \\ j}}{\vektor{m^j \\ j!}}=\bruch{\bruch{m!}{j!(m-j)!}}{\bruch{(m^j)!}{(j!)!(m^j-j!)!}}=\bruch{(j!)!*m!*(m^j-j!)!}{j!*(m-j)!*(m^j)!}=\bruch{(j!-1)!*m*(m-1)*...*(m-j+1)}{m^j*(m^j-1)*...*(m^j-j!+1)}[/mm]

konvergiert eigentlich für jedes [mm]j\ge2[/mm] gegen 0, da im Nenner j! Glieder mit [mm]m^j[/mm] und im Zähler j glieder mit m stehen...
Bezug
                                                
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Konvergenz: Okay, danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 Mi 17.12.2008
Autor: barsch

Okay, ich habe jetzt auch noch mal nachgerechnet und deine Behauptung hat sich bestätigt. Ich habe jetzt noch ein paar Mal nachgesehen und die Aufgabenstellung verglichen, aber die Aufgabe ist korrekt widergegeben.

Ich werde die Aufgabe einfach weglassen und hier dann mal die Lösung (auf die bin ich einmal gespannt) posten.

Vielen Dank!

MfG barsch
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 Mi 17.12.2008
Autor: kuemmelsche

Guten Abend,

sagt mal, warum könnt ihr denn einfach j=2 setzen? Nur für j=2 ist (j!)!=j!

Sonst ja nicht.

thx im voraus!

Bezug
                                        
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 Mi 17.12.2008
Autor: barsch

Hi,

das habe ich mich auch erst gefragt. Aber wenn du einfach nur ein Gegenbeispiel suchst, was strangelet beabsichtigte, dann kann man ja j=2 setzen. Denn nach Voraussetzung sollte das eigentlich für alle [mm] j\in\IN [/mm] gelten.

MfG barsch
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Mi 17.12.2008
Autor: kuemmelsche

Achso... ist ja auch eig. logisch^^

Würde sehr gern mal die "Lösung" lesen. Freu mich schon wenn du die gepostet hast.

Kannst ja ne PM schicken^^

Danke.

lg Kai
Bezug
                                                        
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Mi 17.12.2008
Autor: barsch

Hi,

mache ich. Wird aber wohl erst nach den Weihnachtsferien gehen. Vorher findet nämlich kein Tutorium mehr statt. Aber ich werde es nicht vergessen ;-)

MfG barsch
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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Fr 19.12.2008
Autor: MaRaQ

So. Ich möchte es dann einmal versuchen.

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\vektor{m \\ j}}{\vektor{m^j \\ j!}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{m(m-1)...(m-j+1)}{j!} \bruch{(j!)!}{m^j(m^j-1)...(m^j-j!+1)} [/mm]

Das ist ja hier das schöne: Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich auf beide Seiten des Bruchs anwenden.

[mm] \bruch{(j!)!}{j!} [/mm] = (j!-1)! (einfaches nachrechnen)

Damit haben wir da stehen:

= [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} \bruch{m(m-1)...(m-j+1)(j!-1)!}{m^j(m^j-1)...(m^j-j!+1)} [/mm]

Und weiter? [mm] \bruch{m}{m^j} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m^{j-1}} [/mm]
Das ist ja noch einfach. Auch "augenscheinlich", dass der Nenner mindestens so viele Faktoren hat, wie der Zähler, da j!=j für j=1,2 aber sicherlich j!>j, sonst.

Ergänzung:
Hier möchte ich folgende (von mir hier nicht bewiesene) Abschätzung einbringen: [mm] \bruch{a-i}{b-i} [/mm] < [mm] \bruch{a}{b} [/mm] für b>a
Mit [mm] m^j [/mm] > m für m>1, j>1 kann man den Gesamtterm abschätzen durch:

= [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} \bruch{m(m-1)...(m-j+1)(j!-1)!}{m^j(m^j-1)...(m^j-j!+1)} [/mm] < [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} \bruch{(j!-1)!}{m^j(m^j)...(m^j)(m^j-j)...(m^j-j!+1)} \rightarrow [/mm] 0

Liebe Grüße, Maraq
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Di 13.01.2009
Autor: barsch

Hi,

wie von einigen vermutet, befand sich ein Fehler in der Aufgabe. Richtig sollte es heißen:

  
> [mm]\limes_{m\rightarrow\infty}\bruch{\vektor{m \\ j}}{\red{\bruch{m^j}{j!}}}=1[/mm]

MfG barsch
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