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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 So 16.11.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Binomialreihe Bx(y) := [mm] \summe_{n=0}^{ \infty } \vektor{x \\ n} [/mm] * [mm] y^n [/mm] für x,y [mm] \varepsilon \IR [/mm] mit |y| < 1 konvergiert (dabei bezeichnen [mm] \vektor{x \\ n} [/mm] die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten).
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Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab für die Lösung das Quotientenkriterium ausgewählt.
Da [mm] \vektor{x \\ n+1} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ n} [/mm] * [mm] \vektor{x-n \\ n+1} [/mm] ist, kommt nach dem Einsetzen und einigen Umformungen das raus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vektor{x -n\\ n+1} [/mm] * y
Wie kann ich den linken Term weiter vereinfachen, so dass deutlich wird, das das Ganze mit y multipliziert < 1 wird, wie es das Quotientenkriterium verlangt. (y ist, wie in der Aufgabenstellung beschrieben |y| < 1 ).
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Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Binomialreihe Bx(y) := [mm]\summe_{n=0}^{ \infty } \vektor{x \\ n}[/mm]
> * [mm]y^n[/mm] für x,y [mm]\varepsilon \IR[/mm] mit |y| < 1 konvergiert
> (dabei bezeichnen [mm]\vektor{x \\ n}[/mm] die verallgemeinerten
> Binomialkoeffizienten).
>
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich hab für die Lösung das Quotientenkriterium ausgewählt.
>
> Da [mm]\vektor{x \\ n+1}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ n}[/mm] * [mm]\vektor{x-n \\ n+1}[/mm]
Diese Identität stimmt nicht, zumindest habe ich drei Gegenbeispiele gefunden...
> ist, kommt nach dem Einsetzen und einigen Umformungen das
> raus:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \vektor{x -n\\ n+1}[/mm] * y
>
> Wie kann ich den linken Term weiter vereinfachen, so dass
> deutlich wird, das das Ganze mit y multipliziert < 1 wird,
> wie es das Quotientenkriterium verlangt. (y ist, wie in der
> Aufgabenstellung beschrieben |y| < 1 ).
Es wird wahrscheinlich darauf hinauslaufen, dass du nur zeigen kannst das der Term mit dem Binomialkoeffizienten gegen 1 konvergiert. Weil aber y < 1, folgt dann sofort dass der Grenzwert <1 ist und somit nach Quotientenkriterium absolut konvergiert.
Für den Ansatz mit dem Rechnen mit dem Binomialkoeffizienten solltest du entweder nochmal deine verwendete Formel korrigieren oder zum Beispiel
[mm] $\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!}$
[/mm]
verwenden, das geht besser, hab ich probiert.
Stefan.
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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich sitze gerade an der selben Aufgabe.
Ich habe ebenfalls mit dem Quotientenkriterium gearbeitet.
[mm] | \bruch{ {a \choose n+1} \cdot y^{n+1} }{ {a \choose n} \cdot y^n}| [/mm]
$=$ | [mm] \bruch{ \bruch{ a! \cdot y^{n+1} }{ (a-n-1)! \cdot (n+1)!} }{\bruch{ a! \cdot y^n}{(a-n)! \cdot n!} } [/mm] |
[mm] &=& |\bruch {(a-n) \cdot y}{(n+1)}| [/mm]
Ich komme damit auf dasselbe Ergebnis wie Dash. Aber ab hier komme ich nicht weiter.
Klar nach dem Quotientenkriterium muss ich jetzt wohl Abschätzngen so machen, dass es immer ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt und eine Zahl 0 < [mm] \lambda [/mm] < 1, so dass für alle n > N die obige Gleichung gilt. Wobei |y|<1 gilt.
Aber wie genau mache ich das? Und was sagt mir der Grenzwert da?
Danke schonmal! Lg Wiebke
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> Ich habe ebenfalls mit dem Quotientenkriterium
> gearbeitet.
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> [mm]| \bruch{ {a \choose n+1} \cdot y^{n+1} }{ {a \choose n} \cdot y^n}|[/mm]
>
> [mm]=[/mm] | [mm]\bruch{ \bruch{ a! \cdot y^{n+1} }{ (a-n-1)! \cdot (n+1)!} }{\bruch{ a! \cdot y^n}{(a-n)! \cdot n!} }[/mm]
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> [mm]&=& |\bruch {(a-n) \cdot y}{(n+1)}|[/mm]
>
> Ich komme damit auf dasselbe Ergebnis wie Dash. Aber ab
> hier komme ich nicht weiter.
Hallo,
Du willst ja jetzt zeigen, daß der Grenzwert kleiner als 1 ist.
Zunächst verwendet man natürlich |y|<1 und erhält
... < [mm] |\bruch [/mm] {(a-n) }{(n+1)}| = [mm] |\bruch [/mm] {(a+1-(n+1) }{(n+1)}| =...
Eines möchte ich allerdings zu bedenken geben: das, was Du tust, gilt nur für [mm] a\in \IN, [/mm] in der geposteten Aufgabenstellung ist das jedoch [mm] \in \IR, [/mm] so daß Du mit Deiner Definition des Binomialkoeffizienten nicht arbeiten kannst, sondern auf die allgemeine zurückgreifen mußt.
Gruß v. Angela
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Hey!
Danke, ja das habe ich nicht bedacht, dass das nur für [mm] a\in \IN [/mm] gilt, aber für [mm] a\in \IR [/mm] gelten soll.
Ich habe jetzt dieselbe Rechnung nochmal mit der allgemeinen Definition für Biniomialkoeffizienten gemacht. Das geht dann genauso und das Ergebnis ist ebenfalls:
[mm] |\bruch{(a-n) \cdot y}{(n+1)}| [/mm]
Jetzt muss ich doch eigentlich zeigen, dass dies kleiner als 1 ist, da 0 < [mm] \lambda [/mm] < 1.
Dazu hab ich jetzt einen Ansatz, aber auch mehrere Fragen:
1. Kann ich dann sagen, da das ab einem bestimmten N < n immer kleiner oder gleich [mm] \lambda [/mm] sein muss, betrachte ich den Grenzwert?
2. Hab ich denn da nicht das Problem, dass mein Bruch nur gegen den Grenzwert läuft, aber nicht unbedingt zu diesem werden muss und daher könnte dann ja ein Wert rauskommen der nicht kleiner 1 ist oder?
Okay ich mach das trotzdem einfach mal:
[mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) \cdot y}{(n+1)}| [/mm]
= [mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n)}{(n+1)}| \cdot [/mm] |a|
= |a|
4. An diesem Punkt ist mir der letzte Schritt eigentlich klar. Aber ich kann mit meinem Vorlesungswissen nicht begründen und darf nicht mit unendlich durch unendlich oder sowas argumentieren. Gibt es eine andere Möglichkeite wie ich zeigen kann, dass dieser Grenzwert entsteht?
5. Bin ich dann an diesem Punkt fertig, wenn ich sage, dass |a| < 1 nach Voraussetzung und das damit [mm] \lambda [/mm] = |a|?
So, vielen Dank schonmal für die Hilfe!
Lg Wiebke
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> Hey!
> Danke, ja das habe ich nicht bedacht, dass das nur für
> [mm]a\in \IN[/mm] gilt, aber für [mm]a\in \IR[/mm] gelten soll.
> Ich habe jetzt dieselbe Rechnung nochmal mit der
> allgemeinen Definition für Biniomialkoeffizienten gemacht.
> Das geht dann genauso und das Ergebnis ist ebenfalls:
> [mm]|\bruch{(a-n) \cdot y}{(n+1)}|[/mm]
>
> Jetzt muss ich doch eigentlich zeigen, dass dies kleiner
> als 1 ist, da 0 < [mm]\lambda[/mm] < 1.
Hallo,
ich kann mir auf Dein [mm] \lambda [/mm] keinen Reim machen.
Vielleicht ist es mein q...
In welcher Formulierung verwendest Du das Quotientenkriterium?
Es gibt ja jetzt zwei Möglichkeiten:
Entweder Du zeigst, daß es ein q [mm] (=\lambda?) [/mm] so gibt, daß ab einem bestimmten N alle Quotienten [mm] \le [/mm] q [mm] (=\lambda?) [/mm] <1 sind.
Oder Du zeigst, daß der Grenzwert des Quotienten <1 ist.
> 2. Hab ich denn da nicht das Problem, dass mein Bruch nur
> gegen den Grenzwert läuft, aber nicht unbedingt zu diesem
> werden muss und daher könnte dann ja ein Wert rauskommen
> der nicht kleiner 1 ist oder?
Wenn der Grenzwert <1 ist, sind ab einem bestimmten N alle Quotienten <1.
>
> Okay ich mach das trotzdem einfach mal:
> [mm]\limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) \cdot y}{(n+1)}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n)}{(n+1)}| \cdot[/mm] |a|
Das ist dubios. Es ist doch das a nicht mit dem y verbandelt.
Du weißt aber |y|<1, und deshalb ist
[mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) \cdot y}{(n+1)}| =\limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) }{(n+1)}| *|y|<\limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) }{(n+1)}| [/mm]
Als nächstes wünscht man sich ja ...=1.
Manchmal kann man dem Schicksal etwas nachhelfen:
[mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) }{(n+1)}| =\limes_{n \to \infty}|\bruch{(a+1-(n+1)) }{(n+1)}| [/mm] = ???
Gruß v. Angela
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Hallo!
Danke nochmal das hat mir super geholfen, ich hab den Beweis jetzt verfolständigt und denke das ist so richtig.
(Achja und ich meinte in meiner obigen Antwort eigentlich gar nicht a, sondern y.. hab mich einfach verschrieben und natürlich ist mein [mm] \lambda [/mm] dein q... ;) )
Jetzt hab ich auch endlich das Quotientenkriterium verstanden, den Zusatz, dass ich auch einfach zeigen kann, dass der Grenzwert kleiner als 1 ist kannte ich vorher noch nicht.
Also hier meine weitere Lösung:
[mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) \cdot y}{(n+1)}| [/mm]
= [mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) }{(n+1)}| \cdot{}|y|
[/mm]
< [mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) }{(n+1)}| [/mm] da |y| < 1
= [mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a+1-(n+1)) }{(n+1)}|
[/mm]
= [mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a+1) }{(n+1)}| [/mm] + [mm] |\bruch{-(n+1) }{(n+1)}|
[/mm]
= [mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a+1) }{(n+1)}| [/mm] + 1
= |a+1| [mm] \cdot \limes_{n \to \infty}|\bruch{(1) }{(n+1)}| [/mm] + 1
Setze nun n+1=m und betrachte den limes von m.
= |a+1| [mm] \cdot \limes_{m \to \infty}|\bruch{(1) }{(m)}| [/mm] + 1
= |a+1| [mm] \cdot [/mm] 0 + 1
= 1
Damit gilt durch die obige Ungleichung, dass
[mm] \limes_{n \to \infty}|\bruch{(a-n) }{(n+1)}| \cdot{}|y| [/mm] < 1
was zu zeigen war, damit das Quotientenkriterium erfüllt ist und die Reihe konvergiert.
Danke! Lieben Gruß Wiebke
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