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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Do 25.11.2004 | | Autor: | beauty |
Hallo!
Ich habe die Folge: n-te Wurzel aus n und soll zeigen, dass sie konvergiert und einen Grenzwert besitzt.
Wie mache ich das ohne zu wissen und zu verwenden, dass ich die Folge so schreiben darf n^(1/n) und ohne zu verwenden, dass (1/n) gegen 0 läuft und dass dann [mm] n^0=1 [/mm] ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Do 25.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach beauty!
Da du schon die Vermutung hast, das [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 geht:
wenn der Grenzwert existiert, dann:
[mm] \forall \varepsilon>0\exists n_{0}(\varepsilon) [/mm] mit:
[mm] \forall n>n_{0}(\varepsilon)|a_{n}-1|<\varepsilon
[/mm]
d.h.
1 ist dann Grenzwert, wenn [mm] a_{n}-1\to [/mm] 0
sei [mm] a_{n} [/mm] also [mm] a_{n}=\wurzel[n]{n}-1
[/mm]
[mm] n=(1+a_{n})^{n}=1+\vektor{n\\1}a_{n}+\vektor{n\\2}a_{n}^{2}+...+\vektor{n\\n}a_{n}^{n}\ge1+\vektor{n\\2}a_{n}^{2}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] \forall n\ge2
[/mm]
[mm] a_{n}^{2}\le\bruch{n-1}{\vektor{n\\2}}=\bruch{2}{n}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] a_{n}\le\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
so nun noch [mm] \varepsilon [/mm] schnitzen Ungleichung zimmern und fertig
MfG zwerg
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