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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mi 23.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha\in\IR, \alpha>0. [/mm] Konvergiert die komplexe Folge
[mm] a_{n}=e^{(-\alpha+i)}^n? [/mm] Wenn ja wogegen? Begründen Sie Ihre Antwort.
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Hallo Leute
ich weiß nicht recht ob ich das mit den komplexen Zahlen richtig gemacht habe?
Hier ist erstmal das was ich gemacht habe.
[mm] a_{n}=e^{(-\alpha+i)}^n
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{(-\alpha+i)}^n=\limes_{n\rightarrow\infty}e^{(-\alpha(n))}+e^{in}=0+e^{i\infty}=\infty
[/mm]
Also konvergiert die Folge [mm] a_{n} [/mm] gegen unendlich.
Mir fehlt da sone schöne Begründung warum. Vielleciht kann mir da jemand helfen.
Achso wie mach den ne Art Wertetabelle für n=0,...,10 und [mm] \alpha=\bruch{1}{4}
[/mm]
Frage wie geh ich mit dem i um. Welche Werte bekommt das i.
Vielen Dank GRuß hooover
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Hallo,
erstmal zu deiner letzten Frage: i ist KEINE Variable, sondern eine Konstante! Hierbei handelt es sich um die imaginäre Einheit, da die Folge ja komplexwertig ist, d.h. jeder Wert hat einen rellen und einen imaginären Teil. Vielleicht solltest du dir das nochmal ansehen.
Zu deiner Folge:
Bei der Umformung musst du die Potenzgesetze beachten!
[mm]a_n = e^{(-\alpha+i)n} = e^{-\alpha*n}*e^{in} = e^{-\alpha*n}*(i*\sin n + \cos n)[/mm]
Da wir wissen, dass Sinus und Cosinus nur Werte von -1 bis 1 annehmen, und der Exponentialteil gegen 0 strebt, strebt auch die Gesamtfolge gegen 0.
Wie du siehst, hast du nur [mm] \alpha [/mm] und n als Variablen, so dass die Wertetabelle kein Problem sein sollte...
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mi 23.08.2006 | | Autor: | hooover |
Hallo ich dazu mal ne Frage,
> Bei der Umformung musst du die Potenzgesetze beachten!
>
> [mm]a_n = e^{(-\alpha+i)n} = e^{-\alpha*n}*e^{in} = e^{-\alpha*n}*(i*\sin n + \cos n)[/mm]
>
> Da wir wissen, dass Sinus und Cosinus nur werte von -1 bis
> 1 annehmen, sind und der Exponentialteil gegen 0 strebt,
> strebt auch die Gesamtfolge gegen 0.
wo kommt denn aufeinmal da sinus und cosinus her.????
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> > [mm]a_n = e^{(-\alpha+i)n} = e^{-\alpha*n}*e^{in} = e^{-\alpha*n}*(i*\sin n + \cos n)[/mm]
> wo kommt denn aufeinmal da sinus und cosinus her.????
Die ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Formel lautet [mm] $e^{i\phi} [/mm] = [mm] \cos \phi [/mm] + i [mm] \sin \phi$ [/mm] und gilt für alle komplexen Zahlen [mm] $\phi$.
[/mm]
Sie ermöglicht es, Exponentiale komplexer Zahlen auf Exponentiale reeller Zahlen und trigonometische Funktionen zurückzuführen, indem man wie oben den Exponenten in Real- und Imaginärteil trennt.
Gruß,
SirJective
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