Konvergenz- Reihe- Sinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Sa 16.01.2010 | | Autor: | dom88 |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\sin \bruch{1}{n}}{n}
[/mm]
Untersuchen sie die Reihe auf Konvergenz und absolute Konv.. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zuerst versucht, mittels Kriterien (Majoranten-, Minoranten, Quotienten, Leibniz, etc.) eine passende Lösung zu erhalten. Meistens endete es so, dass ich im Nenner dann ein Sinus stehen hatte wodurch ich dann, wenn ich n gegen Unendlich liefen ließ, eine Null im Nenner hatte.
Eine einfache Umformung des Reihenglieds fällt mir ebenfalls nicht ein. Additionstheoreme für diese Form gibt es ja nicht.
Ich bin ein wahrer Freshy auf diesem Gebiet. Würde mich daher über eine ausführliche Erklärung freuen.
Danke für Eure Hilfe.
Dom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Sa 16.01.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\sin \bruch{1}{n}}{n}[/mm]
Hallo,
das soll sicher [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\sin \bruch{1}{n}}{n}[/mm] heißen?
In dem Fall würde ich die Entwicklung der einzelnen Summanden untersuchen.
Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sin \bruch{1}{n}}{n} [/mm] = [mm] \limes_{u\rightarrow0}\bruch{\sin u}{\bruch{1}{u}}== \limes_{u\rightarrow0}u^2*\bruch{\sin u}{u}.
[/mm]
Da [mm] \bruch{sin(u)}{u} [/mm] gegen 1 geht (ist das bekannt?), sollte man die einzelnen Summanden gegen [mm] u^2 [/mm] (bzw. nach Rücksubstitution gegen [mm] 1/n^2) [/mm] abschätzen können...
Du kannst natürlich auch mit der Reihenentwicklung des Sinus arbeiten.
Gruß Abakus
>
> Untersuchen sie die Reihe auf Konvergenz und absolute
> Konv..
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe zuerst versucht, mittels Kriterien (Majoranten-,
> Minoranten, Quotienten, Leibniz, etc.) eine passende
> Lösung zu erhalten. Meistens endete es so, dass ich im
> Nenner dann ein Sinus stehen hatte wodurch ich dann, wenn
> ich n gegen Unendlich liefen ließ, eine Null im Nenner
> hatte.
>
> Eine einfache Umformung des Reihenglieds fällt mir
> ebenfalls nicht ein. Additionstheoreme für diese Form gibt
> es ja nicht.
>
> Ich bin ein wahrer Freshy auf diesem Gebiet. Würde mich
> daher über eine ausführliche Erklärung freuen.
>
> Danke für Eure Hilfe.
>
> Dom
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 16.01.2010 | | Autor: | dom88 |
nice, nur eine sache ist noch nicht ganz klar.
warum ist [mm] \limes_{u\rightarrow\infty} \bruch{sin u}{u}=1 [/mm] ?
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Hallo,
> nice, nur eine sache ist noch nicht ganz klar.
> warum ist [mm]\limes_{u\rightarrow\infty} \bruch{sin u}{u}=1[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Sinus ist doch beschränkt, also ist [mm] $\lim\limits_{u\to\infty}\frac{\sin(u)}{u}=0$
[/mm]
Gemeint ist oben im post ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") auch [mm] $\lim\limits_{\red{u\to 0}}\frac{\sin(u)}{u}$
[/mm]
Am einfachsten geht das mit der Regel von de l'Hôpital:
bei direktem Grenzübergang [mm] $u\to [/mm] 0$ erhältst du den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Dann leite gem. de l'Hôpital Zähler und Nenner getrennt ab und betrachte erneut den limes
also [mm] $\lim\limits_{u\to 0}\frac{\left[\sin(u)\right]'}{\left[u\right]'}=\lim\limits_{u\to 0}\frac{\cos(u)}{1}=\frac{1}{1}=1$
[/mm]
Alternativ gehts einfach über die Sinusreihe ....
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Sa 16.01.2010 | | Autor: | dom88 |
super. vielen danke für eure hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Sa 16.01.2010 | | Autor: | dom88 |
ich bräuchte dann für die zweite aufgabe (selbe aufgabenstellung), mal einen denkanstoß.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{sin (n)}{n quadrat}
[/mm]
wo ist der button fürs quadrat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 16.01.2010 | | Autor: | abakus |
> ich bräuchte dann für die zweite aufgabe (selbe
> aufgabenstellung), mal einen denkanstoß.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{sin (n)}{n quadrat}[/mm]
>
> wo ist der button fürs quadrat?
Hallo,
schreibe einfach
... ^ 2 (ohne dieses Leerzeichen dazwischen.
Die Werte für sin(n) sind "eingeklemmt" zwischen 1 und -1.
Damit kannst du die Beträge der Summanden nach oben abschätzen gegen [mm] \bruch{1}{n^2}.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 So 17.01.2010 | | Autor: | dom88 |
ok. das [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert ist klar. aber ist es nicht von bedeutung wenn sich der zähler immer ändert auch wenn er zwischen 1 und -1 eingeklemmt ist.
kann man hier eventuell auch mit dem grenzwertsatz argumentieren?
Siehe:
[mm] (\alpha*x_{n})_{n \varepsilon \IN}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\alpha*x_{n})=\alpha*x
[/mm]
Das alpha wäre dann in diesem fall veränderlich würde aber nichts am grenzwert ändern?
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Hallo nochmal,
> ok. das [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] konvergiert ist klar. aber ist es
> nicht von bedeutung wenn sich der zähler immer ändert
> auch wenn er zwischen 1 und -1 eingeklemmt ist.
Na, es wurde doch gezeigt, dass die Reihe absolut konvergent ist, die Reihe der Beträge also konvergiert.
Dies impliziert Konvergenz ...
>
> kann man hier eventuell auch mit dem grenzwertsatz
> argumentieren?
> Siehe:
> [mm](\alpha*x_{n})_{n \varepsilon \IN}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\alpha*x_{n})=\alpha*x[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
für beliebiges, aber dann festes [mm] $\alpha$
[/mm]
>
> Das alpha wäre dann in diesem fall veränderlich würde
> aber nichts am grenzwert ändern?
Wie willst du das denn mit variablem [mm] $\alpha$ [/mm] anwenden??
Oben ist alles gesagt ...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 So 17.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist $|sin(x)| [mm] \le [/mm] |x|$ für jedes x, somit
[mm] $|\bruch{\sin \bruch{1}{n}}{n} [/mm] | [mm] \le 1/n^2$ [/mm] für jedes n
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 So 17.01.2010 | | Autor: | dom88 |
also bildest du jetzt einfach die majorante (majorantenkriterium)?
also grenzwertsatz ist hier nicht angebracht?
dom
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Hallo Dom,
> also bildest du jetzt einfach die majorante
> (majorantenkriterium)?
> also grenzwertsatz ist hier nicht angebracht?
Wieder dieselbe Argumentation wie bei der anderen Reihe:
Mit dieser Abschätzung ist [mm] $\sum\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{n}$ [/mm] absolut konvergent, mithin auch konvergent
>
> dom
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mo 18.01.2010 | | Autor: | dom88 |
ok, warum sollte man jetzt [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] und nicht einfach [mm] \bruch{1}{n} [/mm] wählen?
es macht ja schon einen unterschied. das eine wäre konvergent und das andere divergent.
deine variante ist schön und würde sich gut mit dem majorantenkriterium lösen lassen...
woher weiß ich welche majorante ich wähle?
gruß dom
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo dom!
Du musst auch Fred's Hinweis genau lesen.
Damit gilt:
[mm] $$\left|\bruch{\sin\left(\bruch{1}{n}\right)}{n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{\left|\sin\left(\bruch{1}{n}\right)\right|}}{|n|} [/mm] \ [mm] \blue{\le} [/mm] \ [mm] \bruch{\blue{\left|\bruch{1}{n}\right|}}{|n|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{n}}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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