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| Aufgabe | Untersuchen sie auf konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalss den Grenzwert!
x1 = 7
xn+1 = [mm] \wurzel{7 + 2xn}
[/mm]
für n [mm] \ge [/mm] 1 |
Also ich hatte den ansatz gemacht:
x = [mm] \wurzel{7 + 2xn}
[/mm]
und dann auf x aufgelöst! dieser x-wert ist dann mein Grenzwert! Ist das richtig so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke!
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Ja Monotonie und Beschränktheit, also die Konvergenz dieser Folge, hab ich schon gezeigt!
ich bekomm nur einen Wert: x= -3
woher kommt der 2.?
ich hab halt erst quadriert, um die Wurzel weg zu bekommen und dann auf x aufgelöst!
kann des sein dass der 2. Wert daher kommt, dass ich einmal durch x teile und da aber eine Fallunterscheidung machen muss?
also würden dann die Werte 3 und -3 rauskommen?
und woher seh ich dann welcher richtig ist?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Di 09.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
muss das nicht [mm] z^2 [/mm] -2z - 7 heisen?
heist dass, dass wenn ich einen 2 werte rausbekomm, einen positiven und einen negativen, dass es dann der positive ist? oder kann es auch mal sein, dass es der negative wert ist?
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Di 09.01.2007 | | Autor: | Nansen |
Ja, Du hast natürlich Recht. Da habe ich mich verschrieben!
Nehmen wir einfach mal an, Deine Grenzwertbestimmung führt Dich auf einen quadratischen Term, mit einer positiven und einer negativen Lösung, a > [mm] x_0 [/mm] und -a < [mm] x_0. (x_0 [/mm] Startwert)
Nun hast Du ja vorher gezeigt, dass die Folge monoton steigend bzw. monton fallend und beschränkt ist.
Ist Deine Folge monoton wachsend, dann gilt [mm] x_n [/mm] > [mm] x_0 [/mm] für alle Folgenglieder, also ist Dein Startwert (hier bezeichnet mit [mm] x_0) [/mm] Deine untere Schranke- also fällt die Lösung -a raus!
Wäre Deine Folge monoton fallend, dann ist Dein Startwert die obere Schranke und a kann nicht der Grenzwert sein. Es kommt also nur -a in Frage.
Ich hoffe, dass war jetzt nicht zu verwirrden erklärt.
Viele Grüße 
Nansen
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ok des hab ich soweit verstanden! Danke schön!
Nur ist jetzt mein Problem: Mein Startwert ist 7 und ich habe rausgefunden dass die Folge monoton fallend ist! Jetzt hab ich für x die Werte 4 und -2 raus...woher weis ich da jetzt welche die richtige ist? (oder hab ich mich grad auch verrechnet?!habs nochmal mit [mm] x^2-2x-7 [/mm] = 0gerechnet und da kamen bei mir diese beiden werte raus)
Danke
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nun hab ich noch ein Problem mit der Folge:
y1 = 1
yn+1 = [mm] ((n^2+4n+1)/(n^3 [/mm] + 8)) *y
sie ist Beschränkt durch y1=1, und ist monoton fallend ---> konvergenz vorhanden
ist der Grenzwert dann 0?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 09.01.2007 | | Autor: | Nansen |
Deine Darstellung scheint nicht ganz korrekt zu sein: Mit was für einem y wird da bei y_(n+1) multipliziert? Meinst Du ... * [mm] y_n
[/mm]
Und: Ist die Folge monoton, dann ist sie stets in irgend einer Weise durch [mm] x_1 [/mm] beschränkt ;) Entweder nach oben oder nach unten.
Wächst Deine Folge monoton oder fällt sie? Was für eine obere/untere Schranke hast Du nachweisen können?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 09.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
oh sorry..ja mein natürlich yn
also ich hab gedacht dass die monoton fällt und dadurch (wegen y1 =1) Beschränkt ist, grad durch diese 1!
Oder lieg ich da falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Di 09.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> nun hab ich noch ein Problem mit der Folge:
>
> y1 = 1
yn+1 = [mm]((n^2+4n+1)/(n^3[/mm] + 8)) *yn
>
> sie ist Beschränkt durch y1=1, und ist monoton fallend --->
> konvergenz vorhanden
>
>
> ist der Grenzwert dann 0?
Ja!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Di 09.01.2007 | | Autor: | Nansen |
Hallo KaiTracid,
ich glaube auf der Aufgabe lastet ein Fluch :D Ich war zu flüchtig :(
Die folge fällt monoton [mm] x_0 [/mm] = 7 > [mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel{21} [/mm] > [mm] x_2 [/mm] = [mm] \wurzel{7+2\wurzel{21}}....
[/mm]
Die Folge [mm] x_n [/mm] ist stets größer Null (Induktion nach n) Also kommt als Lösung von x = [mm] \wurzel{7+2x} [/mm] nur x= 1+ [mm] 2\wurzel{2} [/mm] in Frage.
Wie kommst Du auf 4? Hast Du Dich vielleicht bei der Anwendung der pq-Formel verrechnet? Für [mm] x_5 [/mm] gilt schon [mm] x_5 [/mm] < 4.
Ich hoffe es ist jetzt mal fehlerfrei :-/
Viele Grüße
Nansen
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