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Hallo,
ich sitze an drei Aufgaben und komme einfach nicht weiter ... vielleicht hat jemand eine Idee:
1) Zu einer Strecke AB und einem Punkt E auf AB konstruiere man zwei Punkte
C und D, so dass AB:AC=AC:AD=AD:AE.
2) Zu drei Punkten A, B, A konstruiere man einen Punkt P, so dass
AP:BP:CP=1:2:3.
3) Das Dreieck ABC sei gegeben. Man konstruiere den geometrischen Ort der Punkte P, für die PA²=PB²+PC² gilt.
Bei 1) und 2) habe ich an den Sekantensatz oder so was gedacht, aber ich krieg es nicht hin. Vielleicht hat jemand irgendwelche Anregungen oder Ideen, denn mit Geometrie tu ich mich schwer!
Dankeschön!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Di 08.05.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Clarissa!
> ich sitze an drei Aufgaben und komme einfach nicht weiter
> ... vielleicht hat jemand eine Idee:
>
> 1) Zu einer Strecke AB und einem Punkt E auf AB konstruiere
> man zwei Punkte
> C und D, so dass AB:AC=AC:AD=AD:AE.
>
> 2) Zu drei Punkten A, B, C konstruiere man einen Punkt P,
> so dass
> AP:BP:CP=1:2:3.
>
> 3) Das Dreieck ABC sei gegeben. Man konstruiere den
> geometrischen Ort der Punkte P, für die PA²=PB²+PC² gilt.
Das sind ja interessante Aufgaben!
Zu 2):
Auf der Geraden durch A und B gibt es zwei Punkte P und P', die die Bedingung erfüllen, einmal zwischen A und B und einmal außerhalb. Der Kreis mit dem Durchmesser PP' ist dann eine Ortslinie. Ebenso für B und C. Diese beiden Kreise haben hoffentlich einen gemeinsamen Punkt, der wär's dann.
Ich weiß im Moment überhaupt nicht mehr, warum das so ist, das hängt glaubich damit zusammen, daß die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten teilt.
Ich bleib da dran, es sind ja noch ein paar Tage Zeit.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Hilfe!!! Ich habe mich mal an der Konstruktion versucht, aber ich mache wahrscheinlich was falsch!! Wie konstruiert man das denn?
Ich habe eine Gerade durch A und B, und dann ist da noch Punkt C, mit dem ich B verbinde, und ich gehe davon aus, dass die nicht alle 3 auf einer Geraden liegen. Oder doch?
Wie komme ich zu dem Kreis mit dem Durchmesser PP' ??? Wo liegt der Mittelpunkt dieses Kreises? Ist A der Mittelpunkt??
Und wenn ich das für B und C auch mache, müssen beide Kreise denselben Durchmesser haben? Und wieso haben die beiden dann einfach einen gemeinsamen Punkt?
Danke schon mal im Voraus!!
Clara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Mi 09.05.2007 | | Autor: | statler |
Moin Clara!
> vielen Dank für deine Hilfe!!! Ich habe mich mal an der
> Konstruktion versucht, aber ich mache wahrscheinlich was
> falsch!! Wie konstruiert man das denn?
>
> Ich habe eine Gerade durch A und B, und dann ist da noch
> Punkt C, mit dem ich B verbinde, und ich gehe davon aus,
> dass die nicht alle 3 auf einer Geraden liegen. Oder doch?
> Wie komme ich zu dem Kreis mit dem Durchmesser PP' ??? Wo
> liegt der Mittelpunkt dieses Kreises? Ist A der
> Mittelpunkt??
Wir bearbeiten hier Punkt 2). Und es soll AP:BP = 1:2 sein. Wir wollen die Ortslinie für diese Punkte P konstruieren. Dazu errichten wir in A und B die Senkrechten auf AB. In der durch B tragen wir 2 (beliebige) Längeneinheiten nach oben ab und erhalten den Punkt D. In der durch A tragen wir 1 Längeneinheit nach oben und nach unten ab und erhalten E und F. Die Schnittpunkte der Geraden durch D und E und durch D und F mit AB nennen G und H. Dann ist der Kreis mit dem Durchmesser GH die Ortslinie für P. Daß G und H dazugehören, daß also AG:BG = AH:BH = 1:2 ist, erkennst du mit dem 2. Strahlensatz. Und daß es für die anderen Punkte P auf dem Kreis so ist, erkennst du daran, daß GP und HP die Winkelhalbierenden von Innen- und Außenwinkel des Dreiecks APB sind.
Alle diese Aktionen kannst du mit Zirkel und Lineal durchführen. Und jetzt müßtest du noch die gleiche Aktion, aber mit einem anderen Verhältnis, für BC durchexerzieren.
> Und wenn ich das für B und C auch mache, müssen beide
> Kreise denselben Durchmesser haben?
Nein.
> Und wieso haben die
> beiden dann einfach einen gemeinsamen Punkt?
Haben sie das immer?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Guck dir mal hier die ![[]](/images/popup.gif) Aufgabe 4 an.
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hi, danke für die ausführliche antwort zu dem thema.
ich hab mich mal drangesetzt und eine zeichung angefertigt.
habe 2 fälle durchgespielt:
1. wenn Punkt C auf der senkrechten von B liegt
[mm] \Rightarrow [/mm] da klappt auch alles wunderbar - ich habe 2 Punkte erhalten für die es zutrifft (denke das geht auch wenn C "rechts" von B liegt, habe es aber nicht nachgeprüft)
aber:
2. wenn C "zwischen" (und bei mir auch Oberhalb der Gerade) A und B (bzw. ihren Senkrechten) treffen sich die kreise nicht.
also schätze ich dass ich irgendwo einen Fehler gemacht bzw. es nicht richtig verstanden habe. Für A und B hast du ja alles idiotensicher erklärt, also muss ich bei B und C was falsch gemacht haben:
1. Gerade BC gezogen
2. Senkrechten
3. von C 3 LE auf Senkrechten abgetragen; von B 2 LE nach 2 Seiten eingezeichnet
4. Verbindungen gezogen [mm] \Rightarrow [/mm] Verhältnisse waren zu den jeweiligen punkten (F und G) immer 2:3
5. Kreise eingezeichnet um MP der neuen Strecken DE bzw. FG (mit Radius von [mm] \bruch{1}{2}Strecke) [/mm]
6. Mist, Kreise treffen sich nicht. hab was falsch gemacht.
was ich mir noch denken könnte: dass ich vielleicht bei B wieder nur auf eine seite abtragen sollte und den 2. Punkt also oberhalb von C (statt unterhalb von B) einzeichnen sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Mi 09.05.2007 | | Autor: | clarakami |
Hi,
besten Dank für die Hilfe!!!!
Clara
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Zu Aufgabe 2) habe ich zumindest einen theoretischen Ansatz:
Du musst die Stecken [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] in die jeweils verlangten Verhältnisse aufteilen (1:2 bzw. 1:3). = 1:3 geht leicht, weil man die Strecke zweimal halbiert. Für 1:2 muss man die Strecke in 3 Teile teilen. Dafür habe ich die Strecke [mm] \overline{AC} [/mm] um das 3-fache verlängert zu [mm] \overline{AC'} [/mm] und dann mithilfe des Strahlensatzes den Punkt auf [mm] \overline{AC} [/mm] konstuiert der nur [mm] \bruch{1}{3} [/mm] dieser Strecke misst [mm] (P_{1}). [/mm]
Die Senkrechte auf [mm] (P_{1}) [/mm] beschreibt dann alle Punkte, die AB:BP=1:2.
Entsprechend muss man dann auch eine Gerade finden, auf der alle AP:CP=1:3 liegen.
Im Schnittpunkt der beiden Geraden liegt dann der gesuchte Punkt P.
Noh etwas anderes:
Es wäre m. E. sinnvoller, für jede Frage einen eigenen Thread zu eröffnen. Weil: jetzt ist nur ein Teil der gesamten Frage beantwortet. Und dann wird der Rest entweder übersehen, oder der Thread wird ellenlang und unübersichtlich.
edit Mod: Text wurde mit Einverständnis wieder hergestellt (Herby)
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:46 Di 08.05.2007 | | Autor: | statler |
> Zu Aufgabe 2) habe ich zumindest einen theoretischen
> Ansatz:
>
> Du musst die Stecken [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{AC}[/mm] in die
> jeweils verlangten Verhältnisse aufteilen (1:2 bzw. 1:3). =
> 1:3 geht leicht, weil man die Strecke zweimal halbiert. Für
> 1:2 muss man die Strecke in 3 Teile teilen. Dafür habe ich
> die Strecke [mm]\overline{AC}[/mm] um das 3-fache verlängert zu
> [mm]\overline{AC'}[/mm] und dann mithilfe des Strahlensatzes den
> Punkt auf [mm]\overline{AC}[/mm] konstuiert der nur [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> dieser Strecke misst [mm](P_{1}).[/mm]
>
> Die Senkrechte auf [mm](P_{1})[/mm] beschreibt dann alle Punkte, die
> AB:BP=1:2.
Das ist ganz sicher nicht so, denn wenn P auf dieser Geraden sehr weit entfernt ist von A und B, ist das Verhältnis immer ungefähr 1.
> Entsprechend muss man dann auch eine Gerade finden, auf der
> alle AP:CP=1:3 liegen.
>
> Im Schnittpunkt der beiden Geraden liegt dann der gesuchte
> Punkt P.
Die Ortslinien sind keine Geraden!
> Es wäre m. E. sinnvoller, für jede Frage einen eigenen
> Thread zu eröffnen. Weil: jetzt ist nur ein Teil der
> gesamten Frage beantwortet. Und dann wird der Rest entweder
> übersehen, oder der Thread wird ellenlang und
> unübersichtlich.
Ich habe die Frage wieder zurückgesetzt.
Gruß
Dieter
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Hallo,
kannst Du mal sagen, in welchem "Dunstkreis" diese Aufgaben gestellt wurden?
Was war in der dazu passenden Vorlesung in der letzten Zeit dran an zentralen Themen?
Ich würde das gerne etwas einkreisen, da ich mich woanders inspirieren muß als in meinem Gedächtnis.
Ich denke in Richtung Ähnlichkeitsbeziehungen am Kreis. Paßt das?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Di 08.05.2007 | | Autor: | clarakami |
Hi Angela!!
Ja, Ähnlichkeitsbeziehungen am Kreis passen!! Hilfe wär super!!
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Hallo,
die Aufgabe 3) wird auch hierbearbeitet,
und im Interesse der Übersichtlichkeit bitte ich darum, die Diskussion dieser Aufgabe ggf. dort zu führen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 15.05.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Clara!
Klar ist, daß es nicht immer eine Lösung gibt. Dazu kann man A, B und C so auf eine Gerade legen, daß C in der Mitte zwischen A und B liegt. In Koordinaten z. B. A(0|0), B(15|0) und C(7,5|0). Dann liegen der innere Teilungspunkt G und der äußere Teilungspunkt H von AB bei G(5|0) und H(-15|0). der entsprechende Kreis liegt komplett links von C. Die entsprechenden Punkte G' und H' von BC sind G'(12|0) und H'(30|0). Der dazu gehörige Kreis liegt rechts von C.
Wenn man CB festhält und AB mitsamt dem Kreis durch G und H um B dreht, sieht man auch, in welcher Lage es genau eine Lösung gibt (und ab wann 2). Das könnte man auch noch allgemeiner untersuchen, also nicht mit diesem speziellen C starten.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
wenn Ihr dazu die Lösungen bekommt, würde ich mich sehr freuen, wenn Ihr sie hier veröffentlichen würdet - ich wäre sehr gespannt zu erfahren, wie das geht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Mi 16.05.2007 | | Autor: | clarakami |
Hallo Angela,
diese Aufgabe ist nicht lösbar. Wir setzen:
AB:AC=AC:AD=AD:AE= a.
Nun berechnen wir: fangen mit AB an:
[mm] AB=AC^2/AD=...=a^3*AE [/mm] und das ist idR nicht konstruierbar, weil wir die dritte Wurzel aus a idR nicht ziehen können.
Genau so:
[mm] AD^3=AB*AE^2, [/mm] und die 3. Wurzel ist wiederum nur zu ziehen, wenn [mm] AB*AE^2 [/mm] eine dritte Potenz ist, und das wäre nur dann der Fall, wenn die Punkte B und E zusammenfallen!!
Also Ergebnis: Aufgabe ist nicht lösbar!!!!
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> diese Aufgabe ist nicht lösbar. [...]
Ich faß es nicht! Soll ich lachen oder weinen?
So viel Papier bemalt und beschrieben! Mich so geärgert!
> [mm]AD^3=AB*AE^2,[/mm] und die 3. Wurzel ist wiederum nur zu
> ziehen, wenn [mm]AB*AE^2[/mm] eine dritte Potenz ist, und das wäre
> nur dann der Fall, wenn die Punkte B und E
> zusammenfallen!!
DAS hatte ich auch - ich hielt es für eine Folge meiner Unwissenheit.
Vielen Dank für Deine Mitteilung.
Nun kann ich das abhaken.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Mi 16.05.2007 | | Autor: | statler |
Moin Angela!
> Ich faß es nicht! Soll ich lachen oder weinen?
Lachen, auf jeden Fall lachen!
> So viel Papier bemalt und beschrieben! Mich so geärgert!
Das habe ich gottseidank nicht gemacht, weil ich das bei ganz flüchtigem Lesen unter 'Goldener Schnitt' einsortiert habe (was aber ja nicht stimmt) und davon ausgegangen bin, daß das jede(r) selbst kann.
Dem Aufgabentext nach war ich zunächst im Glauben, daß alle 3 Teile lösbar seien.
Einen schönen Vatertag 
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Sa 19.05.2007 | | Autor: | clarakami |
Hi Angela,
keine Ursache, hab ich gern gemacht!! Was meinst du was ich gezeichnet habe.... habe neulich von 22:00 bis 2:30 daran gesessen - und dann war's so einfach
Clara
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