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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 09.12.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Welche der folgenden komplexen Zahlen lassen sich mit Zirkel und Lineal aus 0 und 1 konstruieren?
a) [mm] e^2 [/mm] - 5
b) [mm] \wurzel{\bruch{\wurzel{5}-\wurzel{3}}{2*\wurzel{7}}}. [/mm] |
Ich weiss gerade nicht so, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Mir ist klar, wie ich für n-te Einheitswurzeln bestimmen kann, ob diese konstruierbar sind. Doch hier sehe ich nicht ganz durch.
Ist die Idee, dass man diese Ausdrücke in n-te Einheitswurzeln umformen soll? oder ganz anders?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 09.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Welche der folgenden komplexen Zahlen lassen sich mit
> Zirkel und Lineal aus 0 und 1 konstruieren?
>
> a) [mm]e^2[/mm] - 5
>
> b) [mm]\wurzel{\bruch{\wurzel{5}-\wurzel{3}}{2*\wurzel{7}}}.[/mm]
>
> Ich weiss gerade nicht so, wie ich an diese Aufgabe
> herangehen soll.
> Mir ist klar, wie ich für n-te Einheitswurzeln bestimmen
> kann, ob diese konstruierbar sind. Doch hier sehe ich nicht
> ganz durch.
Allgemein gilt doch: eine Zahl [mm] $\alpha \in \IC$ [/mm] ist genau dann aus 0 und 1 konstruierbar, wenn sie in einer iterierten Wurzelerweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] liegt.
Bei a) beachte, dass $e$ transzendent ist. Kann [mm] $e^2 [/mm] - 5$ dann in einer iterierten Wurzelerweiterung liegen?
Bei b) gib doch einfach eine iterierte Quadratwurzelerweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] an, in der das Element liegt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mi 09.12.2009 | | Autor: | one |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
> Allgemein gilt doch: eine Zahl [mm]\alpha \in \IC[/mm] ist genau
> dann aus 0 und 1 konstruierbar, wenn sie in einer
> iterierten Wurzelerweiterung von [mm]\IQ[/mm] liegt.
Leider ist mir nicht bekannt, was eine iterierte Wurzelerweiterung ist. Habe in meinen Vorlesungsunterlagen nachgeschaut aber dort nirgens was dazu gefunden...
Kann es sein, dass es noch eine andere Möglichkeit gibt, diese Aufgabe zu lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mi 09.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Allgemein gilt doch: eine Zahl [mm]\alpha \in \IC[/mm] ist genau
> > dann aus 0 und 1 konstruierbar, wenn sie in einer
> > iterierten Wurzelerweiterung von [mm]\IQ[/mm] liegt.
>
> Leider ist mir nicht bekannt, was eine iterierte
> Wurzelerweiterung ist. Habe in meinen Vorlesungsunterlagen
> nachgeschaut aber dort nirgens was dazu gefunden...
Hmm, wie habt ihr das denn bisher gemacht? Wie habt ihr die konstruierbaren Zahlen charakterisiert?
> Kann es sein, dass es noch eine andere Möglichkeit gibt,
> diese Aufgabe zu lösen?
Dazu muessten wir schon wissen, was du zur Verfuegung hast.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Do 10.12.2009 | | Autor: | one |
also wir haben sicherlich mal gezeigt, dass die Wurzeln von reellen Zahlen konstruierbar sind.
ausserdem gilt ja folgendes:
a konstruierbar [mm] \Rightarrow [/mm] a algebraisch
für die Aufgabe a) könnte ich dann wie folgt vorgehen:
e ist transzendent also ist auch [mm] e^2 [/mm] transzendet und [mm] e^2-5 [/mm] auch transzendent. also ist [mm] e^2-5 [/mm] nicht konstruierbar.
Doch wie kann ich zeigen, dass die Verknüpfungen von transzendenten Zahlen auch wieder transzendent sind? also z.B. eben e und dann [mm] e^2 [/mm] und [mm] e^2-5.
[/mm]
Bei b) könnte ich argumentieren, dass die Wurzel einer reellen Zahl konstruierbar ist. dann ist logischerweise auch die summe und der bruch davon konstruierbar. kann ich dies auf diese Weise zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Zu den transzendenten Zahlen. Dass $e$ transzendent ist, bedeutet ja [mm] $\IQ[e] \cong \IQ[x]$ [/mm] mit einer Unbestimmten $x$. Jetzt kannst du ganz allgemein fuer einen Polynomring zeigen: ist $f [mm] \in [/mm] K[x]$ mit [mm] $\deg [/mm] f > 0$, so ist $K[f] [mm] \cong [/mm] K[x]$. (Beachte, dass [mm] $\deg(f^n) [/mm] = n [mm] \deg [/mm] f$ ist.)
> Bei b) könnte ich argumentieren, dass die Wurzel einer reellen Zahl konstruierbar ist.
Na, das glaub ich aber nicht. Du meinst eher die Wurzel einer konstruierbaren Zahl. Oder?
> dann ist logischerweise auch die summe und der bruch davon konstruierbar. kann
> ich dies auf diese Weise zeigen?
Naja, "logischerweise" ist gut. Das ist vermutlich ein Satz den ihr hattet? Aber ansonsten ja, so geht das.
LG Felix
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