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| Aufgabe | | Lösen Sie die inhomogene lineare Differenzialgleichung y" -2y'+y = [mm] \bruch{e^{t}}{t} [/mm] mittels Konstantenvariation und führen Sie die Probe aus. |
Meine Lösung bisher:
y"-2y'+y=0 [mm] \to \lambda²-2\lambda+1=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 1
[mm] y^{h}(t) [/mm] = [mm] C_{1}e^{t}+C_{2}e^{t}
[/mm]
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y" -2y'+y = [mm] \bruch{e^{t}}{t}
[/mm]
[mm] y_{1}(t) [/mm] = [mm] e^{t}
[/mm]
[mm] y_{2}(t) [/mm] = [mm] e^{t}
[/mm]
[mm] y^{inh}(t) [/mm] = [mm] C_{1}(t)e^{t}+C_{2}(t)e^{t}
[/mm]
Bin nicht sicher ob soweit alles richtig ist und wie es weiter geht.
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Hallo marko1612,
> Lösen Sie die inhomogene lineare Differenzialgleichung y"
> -2y'+y = [mm]\bruch{e^{t}}{t}[/mm] mittels Konstantenvariation und
> führen Sie die Probe aus.
> Meine Lösung bisher:
>
> y"-2y'+y=0 [mm]\to \lambda²-2\lambda+1=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]y^{h}(t)[/mm] = [mm]C_{1}e^{t}+C_{2}e^{t}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Achtung, es ist ja [mm] $\lambda=1$ [/mm] doppelte NST, das musst du bei der Basislösung berücksichtigen:
[mm] $y_h(t)=C_1e^t+C_2\red{\cdot{}t\cdot{}}e^{t}$
[/mm]
Damit dann nochmal die VdK ...
>
> -------------------------------------------------------------------------------
>
> y" -2y'+y = [mm]\bruch{e^{t}}{t}[/mm]
>
> [mm]y_{1}(t)[/mm] = [mm]e^{t}[/mm]
> [mm]y_{2}(t)[/mm] = [mm]e^{t}[/mm]
>
>
> [mm]y^{inh}(t)[/mm] = [mm]C_{1}(t)e^{t}+C_{2}(t)e^{t}[/mm]
>
>
>
> Bin nicht sicher ob soweit alles richtig ist und wie es
> weiter geht.
Es fehlt das t, dann 2mal ableiten, einsetzen und vgl. mit der Ausgangs-Dgl.
LG
schachuzipus
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Danke erstmal, aber wie funktioniert das mit der VdK genau. Unsere Professorin war leider nicht in der Lage das so zu erklären das man es versteht.
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Hallo marko1612,
> Danke erstmal, aber wie funktioniert das mit der VdK genau.
> Unsere Professorin war leider nicht in der Lage das so zu
> erklären das man es versteht.
Der Ansatz lautet dann:
[mm]\left(1\right) \ y\left(t\right)=C_{1}\left(t\right)*e^{t}+C_{2}\left(t\right)*t*e^{t}[/mm]
Dann bildet man [mm]y'\left(t\right), \ y''\left(t\right)[/mm] unter der Zusatzbedingung
[mm] \left(2\right) \ C_{1}'\left(t\right)*e^{t}+C_{2}'\left(t\right)*t*e^{t}=0[/mm]
Demnach
[mm]y'\left(t\right)=C_{1}'*e^{t}+C_{1}*e^{t}+C_{2}'*t*e^{t}+C_{2}*\left(t+1\right)*e^{t}[/mm]
[mm]\Rightarrow \left(3\right) \ y'\left(t\right)=C_{1}*e^{t}+C_{2}*\left(t+1\right)*e^{t}[/mm]
Mit der selben Bedingung folgt:
[mm]\left(4\right) \ y''\left(t\right)=C_{2}'*e^{t}+C_{1}*e^{t}+C_{2}*\left(t+2\right)*e^{t}[/mm]
(1), (3) und (4) werden jetzt in die DGL eingesetzt,
dann bekommst Du eine Gleichung in [mm]C_{1}', \ C_{2}'[/mm].
Zusammen mit der Bedingung (2) lassen sich hieraus [mm]C_{1}', \ C_{2}'[/mm] bestimmen.
Hieraus folgen dann [mm]C_{1}\left(t\right), \ C_{2}\left(t\right)[/mm]
Und somit die Lösung der DGL 2. Ordnung.
Gruß
MathePower
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Kann es sein das bei irgendeiner Gleichung das [mm] C_{1}' [/mm] fehlt?
Wenn ich das einsetze kann ich maximal ein [mm] C_{2}' [/mm] berechnen.
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Hallo marko1612,
> Kann es sein das bei irgendeiner Gleichung das [mm]C_{1}'[/mm]
> fehlt?
Nein, das ist alles richtig.
> Wenn ich das einsetze kann ich maximal ein [mm]C_{2}'[/mm]
> berechnen.
Um [mm]C_{1}' [/mm] zu berechnen, hast Du ja noch die Zusatzbedingung:
[mm]C_{1}'*e^{t}+C_{2}'*t*e^{t}=0[/mm]
Gruß
MathePower
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