Konjugiert < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Fr 12.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Es sei [mm](G, *)[/mm] eine Gruppe, deren Ordnung Potenz einer Primzahl [mm]p[/mm] ist.
(i)
Sei [mm]g \in G[/mm]. Dann ist die Anzahl der zu [mm]g[/mm] konjugierten Elemente gleich
[mm]1[/mm] oder Vielfaches von [mm]p[/mm].
(ii)
Neben dem neutralen Element [mm]e[/mm] ist mindestens ein weiteres Gruppenelement nur zu sich selbst konjugiert.
(iii)
Das Zentrum von [mm]G[/mm] besteht nicht aus [mm]e[/mm] allein. |
zu (i)
gesucht sind alle g' die zu g konjugiert sind: [mm]g\sim g' :\gdw \exists x \in G: g=xg'x^{-1} \gdw \exists x \in G: gx=xg'[/mm]
[i][mm]ord G=p<\infty[/mm] und [mm]p[/mm] ist eine Primzahl [mm] \Rightarrow[/mm] [mm](G,*)[/mm] ist zyklisch
Ich habe nun folgende Aussage in meinem Skript gefunden:
Sei [mm](G,*)[/mm] eine Gruppe, [mm]g \in G[/mm] und [mm]M_{g}:=\{m \in G|mgm^{-1}=g\}[/mm] der Normalisator von g. Dann gilt,
1.)[mm]M_{g}[/mm] ist Untergruppe
2.)[mm]mgm^{-1}=ngn^{-1} \gdw mM_{g}=nM_{g}[/mm]
3.)Die Anzahl der verschiedenen zu g konjugierten Elemente ist [mm][G:M_{g}][/mm]
und da [mm]M_{g}[/mm] Untergruppe kann ich den Satz von Lagrange anwenden.
Was für mich bedeutet, ich muss "nur" nachweisen, dass [mm]|M_{g}|[/mm] entweder 1 oder p ist, da [mm]\bruch{|G|}{|M_{g}|}=[G:M_{g}][/mm] und 1 und p die einzigen Teiler von [mm]|G|[/mm] sind.
Aber wie könnte ich jetzt zeigen, dass [mm]M_{g}[/mm] entweder 1 oder p ist?
ich weiß ja, dass [mm]|M_{g}|[/mm] ein Teiler sein muss von [mm]|G|=p[/mm] laut Skript, daher ergibt sich doch schon alleine, dass die Anzahl der zu g konjugierten Elemente p oder 1 sein muss, oder?
Stimmt das hier überhaupt?
Irgendwie finde ich das alles recht logisch, sodass ich gar nicht weiß, wie ich das jetzt noch mathematisch beweisen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Fr 12.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
zu (iii)
damit es für spätere Hilfesuchende drin steht:
[mm](G,*)[/mm] ist zyklisch, da [mm]ordG=p[/mm] mit p Primzahl.
[mm]\Rightarrow (G,*)[/mm] ist abelsch
Beweis: Sei [mm]g \in G[/mm] und gelte g sei das ein elementige Erzeugendensystem [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] \forall g' \in G \exists k \in N: g^{k}=g'[/mm]
z.z. [mm]gg'=g'g[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]gg'=gg^{k}=g_{1+k}=g_{k+1}=g_{k}g=g'g[/mm]
G zyklisch [mm] \Rightarrow [/mm] G abelsch
Aus dem Skript folgt: wenn G abelsch [mm] \gdw[/mm] [mm]Z_{g}=G[/mm]
Daher folgt, [mm]|Z_{g}|=p[/mm].
Ich hoffe, dass wenn jemandem hier doch ein Fehler auffällt, dass er mir dies schreibt, damit ich es korrigieren kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:56 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> zu (iii)
> damit es für spätere Hilfesuchende drin steht:
> [mm](G,*)[/mm] ist zyklisch, da [mm]ordG=p[/mm] mit p Primzahl.
> [mm]\Rightarrow (G,*)[/mm] ist abelsch
> Beweis: Sei [mm]g \in G[/mm] und gelte g sei das ein elementige
> Erzeugendensystem [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\forall g' \in G \exists k \in N: g^{k}=g'[/mm]
> z.z. [mm]gg'=g'g[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]gg'=gg^{k}=g_{1+k}=g_{k+1}=g_{k}g=g'g[/mm]
> G zyklisch [mm]\Rightarrow[/mm] G abelsch
> Aus dem Skript folgt: wenn G abelsch [mm]\gdw[/mm] [mm]Z_{g}=G[/mm]
> Daher folgt, [mm]|Z_{g}|=p[/mm].
>
> Ich hoffe, dass wenn jemandem hier doch ein Fehler
> auffällt, dass er mir dies schreibt, damit ich es
> korrigieren kann.
Im Fall $|G| = p$ ist das ganze trivial.
Du sollst die Aufgabe allerdings fuer $|G| = [mm] p^n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 1$ zeigen. Sobald $n > 1$ ist, muss die Gruppe nicht mehr zyklisch sein.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 14.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
Oh ja klar! Das hab ich wohl an dem späten Abend voll übersehen :|
Dann mach ich das noch mal!
Wenn ich fertig bin, dann stell ich das hier wieder rein.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm](G, *)[/mm] eine Gruppe, deren Ordnung Potenz einer
> Primzahl [mm]p[/mm] ist.
>
> (i)
> Sei [mm]g \in G[/mm]. Dann ist die Anzahl der zu [mm]g[/mm] konjugierten
> Elemente gleich
> [mm]1[/mm] oder Vielfaches von [mm]p[/mm].
> (ii)
> Neben dem neutralen Element [mm]e[/mm] ist mindestens ein weiteres
> Gruppenelement nur zu sich selbst konjugiert.
> (iii)
> Das Zentrum von [mm]G[/mm] besteht nicht aus [mm]e[/mm] allein.
>
> zu (i)
> gesucht sind alle g' die zu g konjugiert sind: [mm]g\sim g' :\gdw \exists x \in G: g=xg'x^{-1} \gdw \exists x \in G: gx=xg'[/mm]
Ja. Wobei du nichts explizit angeben/ausrechnen musst.
> [mm]ord G=p<\infty[/mm] und [mm]p[/mm] ist eine Primzahl [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](G,*)[/mm]
> ist zyklisch
Das hilft dir hier nicht weiter.
> Ich habe nun folgende Aussage in meinem Skript gefunden:
> Sei [mm](G,*)[/mm] eine Gruppe, [mm]g \in G[/mm] und [mm]M_{g}:=\{m \in G|mgm^{-1}=g\}[/mm]
> der Normalisator von g. Dann gilt,
> 1.)[mm]M_{g}[/mm] ist Untergruppe
> 2.)[mm]mgm^{-1}=ngn^{-1} \gdw mM_{g}=nM_{g}[/mm]
> 3.)Die Anzahl der
> verschiedenen zu g konjugierten Elemente ist [mm][G:M_{g}][/mm]
> und da [mm]M_{g}[/mm] Untergruppe kann ich den Satz von Lagrange
> anwenden.
Das hilft dir weiter.
> Was für mich bedeutet, ich muss "nur" nachweisen, dass
> [mm]|M_{g}|[/mm] entweder 1 oder p ist, da
Das waer falsch; es kann auch eine andere Potenz von $p$ sein.
> [mm]\bruch{|G|}{|M_{g}|}=[G:M_{g}][/mm] und 1 und p die einzigen
> Teiler von [mm]|G|[/mm] sind.
>
> Aber wie könnte ich jetzt zeigen, dass [mm]M_{g}[/mm] entweder 1
> oder p ist?
> ich weiß ja, dass [mm]|M_{g}|[/mm] ein Teiler sein muss von [mm]|G|=p[/mm]
> laut Skript, daher ergibt sich doch schon alleine, dass die
> Anzahl der zu g konjugierten Elemente p oder 1 sein muss,
> oder?
Es soll aber nicht nur 1 und $p$ sein, auch Vielfache von $p$ sind erlaubt.
> Stimmt das hier überhaupt?
Siehe oben :)
Kennst du die Klassengleichung (oder Bahngleichung)? Die hilft dir bei der Aufgabe weiter...
(Zeige: ein Element ist genau dann im Zentrum, wenn es nur zu sich selber konjugiert ist.)
LG Felix
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