Konjugation von 1 < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Sa 18.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
ich habe zu zeigen, dass eine bestimmte Aussage war ist und dabei komme ich dann auf folgende Zeile, außerdem |z| = 1
$= 1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 + z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z$
bei $z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z$ gilt, $z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z = |z|² = |1|² = 1$
$= 1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 + 2$
Jedoch weiß ich nun nicht, was die Konjugation von 1 ist?
Entweder gleiches Vorgehen wie bei $z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z$, also $1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 = |1|² = 1$, dann würde sich ergeben:
= 2 + 2 = 4
Oder die Konjugation von 1 ist -1, somit würde sich ergeben:
= -2 + 2 = 0
Ich muss also nur wissen, was die Konjugation von 1 ist.
Gruß
itse
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Hallo itse,
ich einse
du einst
er,sie,es einst
wir einsen
ihr einst
sie einsen.
Ansonsten: [mm] \a{}1=1+0i, [/mm] konjugiert also [mm] \overline{1}=1-0i=?
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 So 19.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | komplexe Punktmenge, Zeigen Sie, dass |1+z|²+|1-z|² für alle komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis (z [mm] \in \IC, [/mm] |z|=1) denselben Wert annimmt. |
Hallo Zusammen,
ich hätte dies dann so gezeigt, da ja gilt $|z|² = z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z$
$|1+z|²+|1-z|²$ =$ [mm] [(1+z)(\bar [/mm] 1+ [mm] \bar [/mm] z)]$ + [mm] $[(1-z)(\bar [/mm] 1- [mm] \bar [/mm] z)]$ = $1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + [mm] \bar [/mm] 1 [mm] \cdot{} [/mm] z + z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + 1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 - 1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] z - [mm] \bar [/mm] 1 [mm] \cdot{} [/mm] z + z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z$ = $1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 + z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z$
nun gilt $1 [mm] \cdot{} \bar [/mm] 1 = 1$ und $z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z = |z|² = 1$
-> 1 + 1 + 1 +1 = 4
Jedoch müsste man doch auch über den Ansatz für z = x+iy und |z|² = x² + y² = 1, auf das selbe Ergebnis kommen.
$|1+z|²+|1-z|²$ = (1+x)²+y² + (1-x)² + y² = 1 + 2x + x² + y² + 1 - 2x + x² + y² = 2 + 2x² + 2y² = 2 + 2 (x²+y²) = 2 + 2 [mm] \cdot{} [/mm] 1 = 4
Also nehmen alle komplexen Zahlen der Form |1+z|²+|1-z|² den Wert 4 an. Stimmt dies?
Wie kann ich mir das anschaulich auf dem Einheitskreis vorstellen?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 So 19.04.2009 | | Autor: | abakus |
> komplexe Punktmenge, Zeigen Sie, dass |1+z|²+|1-z|² für
> alle komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis (z [mm]\in \IC,[/mm]
> |z|=1) denselben Wert annimmt.
Hallo,
gut, dass du endlich die konkrete Aufgae rausrückst.
Der Term |1-z| beschreibt den Abstand zwischen den beiden kompexen Zahlen 1 und z.
Der Term |1+z|=|z-(-1)| beschreibt den Abstand zwischen den beiden kompexen Zahlen -1 und z.
Wenn du dir den Einheitskreis betrachtest, so ist die Strecke zwischen den Zahlen -1 und 1 (sie hat die Länge 2) der Durchmesser des Einheitskreises, und z steht für einen beliebigen Punkt auf dem Einheitskreis.
Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck aus den komplexen Zahlen -1, 1 und z rechtwinklig, und mit dem Satz des Pythagoras gilt [mm] |1+z|²+|1-z|²=d^2 [/mm] =4.
Gruß Abakus
> Hallo Zusammen,
>
> ich hätte dies dann so gezeigt, da ja gilt [mm]|z|² = z \cdot{} \bar z[/mm]
>
> [mm]|1+z|²+|1-z|²[/mm] =[mm] [(1+z)(\bar 1+ \bar z)][/mm] + [mm][(1-z)(\bar 1- \bar z)][/mm]
> = [mm]1 \cdot{} \bar 1 + 1 \cdot{} \bar z + \bar 1 \cdot{} z + z \cdot{} \bar z + 1 \cdot{} \bar 1 - 1 \cdot{} \bar z - \bar 1 \cdot{} z + z \cdot{} \bar z[/mm]
> = [mm]1 \cdot{} \bar 1 + 1 \cdot{} \bar 1 + z \cdot{} \bar z + z \cdot{} \bar z[/mm]
>
> nun gilt [mm]1 \cdot{} \bar 1 = 1[/mm] und [mm]z \cdot{} \bar z = |z|² = 1[/mm]
>
> -> 1 + 1 + 1 +1 = 4
>
>
> Jedoch müsste man doch auch über den Ansatz für z = x+iy
> und |z|² = x² + y² = 1, auf das selbe Ergebnis kommen.
>
> [mm]|1+z|²+|1-z|²[/mm] = (1+x)²+y² + (1-x)² + y² = 1 + 2x + x² + y²
> + 1 - 2x + x² + y² = 2 + 2x² + 2y² = 2 + 2 (x²+y²) = 2 + 2
> [mm]\cdot{}[/mm] 1 = 4
>
> Also nehmen alle komplexen Zahlen der Form |1+z|²+|1-z|²
> den Wert 4 an. Stimmt dies?
>
> Wie kann ich mir das anschaulich auf dem Einheitskreis
> vorstellen?
>
> Gruß
> itse
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