Konjugation (Komplexe Zahlen) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mi 07.11.2007 | | Autor: | borych |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch direkte Rechnung
(a) Es ist [mm] \overline{z + w} [/mm] = [mm] \overline{z} [/mm] + [mm] \overline{w}.
[/mm]
(b) Es ist [mm] \overline{z * w} [/mm] = [mm] \overline{z} [/mm] * [mm] \overline{w}, [/mm] sowie [mm] \overline{w^-1} [/mm] = [mm] (\overline{w})^-1.
[/mm]
(c) Re(z) = [mm] \bruch{1}{2}(z [/mm] + [mm] \overline{z}) [/mm] und Im(z) = [mm] \bruch{1}{2i}(z [/mm] - [mm] \overline{z}). [/mm] Insbesondere gilt [mm] \overline{z} [/mm] = z [mm] \gdw [/mm] z [mm] \varepsilon [/mm] reelle Zahlen. |
Hallo,
Ich bin im ersten Semester Informatik und tue mir bei den Beweisen in Mathe noch sehr schwer. Genau wie bei diesem hier. Ich weiss einfach nicht was und wie ich das beweisen soll. Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie durch direkte Rechnung
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> (a) Es ist [mm]\overline{z + w}[/mm] = [mm]\overline{z}[/mm] + [mm]\overline{w}.[/mm]
> (b) Es ist [mm]\overline{z * w}[/mm] = [mm]\overline{z}[/mm] * [mm]\overline{w},[/mm]
> sowie [mm]\overline{w^-1}[/mm] = [mm](\overline{w})^-1.[/mm]
> (c) Re(z) = [mm]\bruch{1}{2}(z[/mm] + [mm]\overline{z})[/mm] und Im(z) =
> [mm]\bruch{1}{2i}(z[/mm] - [mm]\overline{z}).[/mm] Insbesondere gilt
> [mm]\overline{z}[/mm] = z [mm]\gdw[/mm] z [mm]\varepsilon[/mm] reelle Zahlen.
Hallo,
Du weißt doch, daß man z,w [mm] \in \IC [/mm] schreiben kann als [mm] z=z_1+iz_2, [/mm] für w entsprechend , [mm] z_1,z_2 \in \IR.
[/mm]
Für (a) sähe das dann so aus:
[mm] \overline{z + w}=\overline{z_1+iz_2 + w_1+iw_2}=\overline{z_1+ w_1+i(z_2+w_2)}= [/mm] jetzt konjugieren
[mm] =z_1+ w_1-i(z_2+w_2) [/mm] =... und nun darfst Du weitermachen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 07.11.2007 | | Autor: | borych |
Danke Angela, der Tip war sehr gut, habe auch alles soweit gemacht bis auf der letzte aufgabenteil von (c)
Ich habe da folgendes gerechnet:
Im(z) = [mm] \bruch{1}{2i}(z [/mm] - [mm] \overline{z})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2i}(z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}i [/mm] - [mm] (z_{1} [/mm] - [mm] z_{2}i))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2i}( z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}i [/mm] - [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}i)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2i}(2 z_{2}i)
[/mm]
=> [mm] \bruch{2z_{2}i}{2i}
[/mm]
Da würd sich bei mir jetzt ja alles rauskürzen bis auf [mm] z_{2} [/mm] oder? Aber ich brauche ja das ergebnis [mm] z_{2}i, [/mm] da dies ja der Imaginärteil von z ist. Kannst du mir da nochmal bitte helfen?
Danke im Voraus
Grüße
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Hallo borych!
Du hast alles richtig gerechnet! Auch mit dem Kürzen hast Du Recht.
Du musst bedenken, dass mit dem Imaginärteil einer komplexen Zahl auch nur der reine Zahlenwert (Koeffizient) bei der imaginären Einheit [mm] $\text{i}$ [/mm] gemeint ist.
Damit ist die Lösung mit $Im(z) \ = \ [mm] Im\left[\bruch{1}{2*i}*\left(z-\overline{z}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] z_2$ [/mm] schon korrekt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mi 07.11.2007 | | Autor: | borych |
alles klar vielen dank!
gruß
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