Kongruenzen mod p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Di 07.04.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo!
ich möchte beweisen, dass [mm] 2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}}(-1)^v(2v+1)^{p-1}\equiv 1+(-1)^\bruch{p+1}{2} [/mm] mod p ist.
Habe so angefangen:
[mm] 2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}}(-1)^v(2v+1)^{p-1}\equiv 2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}}(-1)^v [/mm] mod p nach Kleinem Satz von Fermat
Jetzt komm ich aber schon nicht weiter. Eigentlich kann man auch die Summe bis [mm] \bruch{p-3}{2} [/mm] laufen lassen, da der [mm] \bruch{p-1}{2}te Summand\equiv [/mm] 0 mod p ist. Die Summe kann nur kongruent 0 oder 1 mod p sein, in Abhängigkeit von [mm] \bruch{p-1}{2}. [/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen ?
VG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Di 07.04.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Christian!
> ich möchte beweisen, dass
> [mm]2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}}(-1)^v(2v+1)^{p-1}\equiv 1+(-1)^\bruch{p+1}{2}[/mm]
> mod p ist.
>
> Habe so angefangen:
> [mm]2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}}(-1)^v(2v+1)^{p-1}\equiv 2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}}(-1)^v[/mm]
> mod p nach Kleinem Satz von Fermat
Vorsicht: fuer $v = [mm] \frac{p - 1}{2}$ [/mm] ist $2 v + 1 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$, [/mm] womit der letzte Summand wegfaellt. Also ist [mm]2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}}(-1)^v(2v+1)^{p-1}\equiv 2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}-1}(-1)^v[/mm]
> Jetzt komm ich aber schon nicht weiter. Eigentlich kann
> man auch die Summe bis [mm]\bruch{p-3}{2}[/mm] laufen lassen, da der
> [mm]\bruch{p-1}{2}te Summand\equiv[/mm] 0 mod p ist.
Genau.
> Die Summe kann
> nur kongruent 0 oder 1 mod p sein, in Abhängigkeit von
> [mm]\bruch{p-1}{2}.[/mm]
> Kann mir jemand weiterhelfen ?
Der Rest ist ganz einfach: betrachte doch mal $2 [mm] \sum_{v=0}^n (-1)^v$ [/mm] ueber [mm] $\IZ$. [/mm] Fuer $n = 0$ ist es 2, fuer $n = 1$ ist es 0, etc., also ist der allgemeine Wert $1 + [mm] (-1)^n$. [/mm] Dies kannst du sehr einfach per Induktion beweisen.
Damit hast du [mm]2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}}(-1)^v(2v+1)^{p-1}\equiv 2*\summe_{v=0}^{\bruch{p-1}{2}-1}(-1)^v \equiv 1 + (-1)^{\bruch{p-1}{2}-1} = 1 + (-1)^{\bruch{p-1}{2}+1} \cdot (-1)^{-2} = 1 + (-1)^{\frac{p+1}{2}}[/mm], was zu zeigen war.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Di 07.04.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Felix !
Die 2 hatte ich total vergessen...super! Besten Dank.
Gruß
Christian
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