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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Di 18.12.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Bestimme alle x in [mm] \IZ, [/mm] für die sowohl [mm] x\equiv [/mm] 1 (mod 3) als auch [mm] x\equiv [/mm] (mod 5) gilt.
Idee: Überlege welchen rest x bei Division durch 3 bzw. 5 lässt. veranschauliche die gesuchte menge durch eine zahlengerade und markiere dort die Lösung der ersten und zweiten Kongruenz. |
für [mm] x\equiv [/mm] 1 (mod 3) gilt für:
x=4,7,10,13,16,19,...
füt x\ 4(mod 5) gilt für:
x=9,14,19,24,....
Die 19 ist z.B. gemeinsam.
Wie soll ich das hier machen? Ich komme hier nicht recht weiter..
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 18.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bei der 2. Gleichung hast du z.B. noch die 4 als Lösung der 2. Gleichung. Damit sind 4 und 19 schon mal Lösungen der beiden Gleichungen. Wenn du noch ein wenig weiter machst, erhältst du z.B. auch -11, -26, -41, ... und 34, 49, 64, ... als Lösungen.
Welche Form haben diese Lösungen? Kannst du sie als Menge angeben? Und dann auch zeigen, dass diese Lösungen die einzigen sind?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 18.12.2012 | | Autor: | heinze |
Ich bin beim Rechnen mit Kongruenzen noch nicht so richtig durchgestiegen..also können auch negative Zahlen gelten?
-11 z.B. ist klar für (mod 3)
Aber ich erkenne keine Form der Lösungen, nur ds sie positiv und negativ sein können. Der Abstand zwischen diesen Ergebnissen ist immer 15, vielleicht weil 15 das kgV ist?
Aber so richtig helfen tut mir das noch nicht beim Angeben der Lösung.
Ich weiß auch nicht wie weit ich die positiven und negativen Lösungen laufen lassen soll, ich nehme mal an bis unendlich? Man addiert ja immer das kgV...
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 18.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, also negative Zahlen zählen auch, außer es wurde irgendwo anders angegeben.
Und ja, der Abstand ist immer 15. Wenn du diese Menge, also ..., -26, -11, 4, 19, 34, ... schön aufschreiben willst, kannst du das mit [mm] 4+15\IZ [/mm] machen. Denn [mm] 15\IZ=\{..., -15, 0, 15, 30, 45, ...\} [/mm] und dann musst du zu jedem Element einfach noch 4 addieren.
Die Elemente aus dieser Menge haben dann die Form $4+15k$, für ein [mm] $k\in \IZ$. [/mm] Jetzt musst du zeigen: So ein $4+15k$ löst deine beiden Gleichungen. Die Umkehrung musst du allerdings auch noch zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Di 18.12.2012 | | Autor: | heinze |
Vielen Dank,für die gute Erklärung, das hat mir sehr gut weitergeholfen!!!!:)
LG
heinze
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