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| Aufgabe | | z=12345789 (letzten 3 Zahlen sind hochgestellt) mal 1999 (1999 noch einmal, bloß hochgestellt) mal 3553 (und 35 hochgestellt) |
Was bedeuten z und die hochgestellten Ziffern?
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> z=12345789 (letzten 3 Zahlen sind hochgestellt) mal 1999
> (1999 noch einmal, bloß hochgestellt) mal 3553 (und 35
> hochgestellt)
> Was bedeuten z und die hochgestellten Ziffern?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Möchtest Du über [mm] z=123456^{789}*1999^{1999}*3553^{35} [/mm] sprechen?
Da steht: z ist die Zahl, die man bekommt, wenn man [mm] 123456^{789}*1999^{1999}*3553^{35} [/mm]
rechnet.
Die hochgestellten Zahlen (Potenzen) bedeuten, daß man die jeweilige Zahl so oft mit sich selbst multißliziert.
Z.B. [mm] 5^3=5*5*5=125,\qquad 2^7=2*2*2*2*2*2*2=128.
[/mm]
Es ist hier also von einer sehr großen Zahl z die Rede, nämlich
[mm] z=\underbrace{12345*12345*...*12345}_{789-mal}*\underbrace{1999*1999*...*1999}_{1999-mal}*\underbrace{3553*3553*...*3553}_{35-mal}.
[/mm]
LG Angela
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| Aufgabe | Ermittle die letzte Ziffer des folgenden Produkts:
z= 123456 hoch789 mal 1999 hoch1999 mal 3553 hoch35 |
Wie rechnet man Aufgaben mit Zahlen mit unterschiedlicher Basis und Exponent?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 So 12.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Ermittle die letzte Ziffer des folgenden Produkts:
> z= 123456 hoch789 mal 1999 hoch1999 mal 3553 hoch35
> Wie rechnet man Aufgaben mit Zahlen mit unterschiedlicher
> Basis und Exponent?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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Hallo Mathilda1,
die Endziffern einer Zahl entspricht ihrem Rest bei Teilung durch 10, z.B. ist
123456:10=12345 Rest 6.
Du musst also den Term [mm]123456 ^{789}*1999^{1999} * 3553^{35}[/mm] nach dem Modul 10 betrachten.
Das ist nun ein Produkt aus drei Potenzen, und für Produkte gibt es bestimmete Regeln.
Aus [mm]a\equiv b mod(m)[/mm] und [mm]c\equiv d mod(m)[/mm] folgt [mm]a*c\equiv b*d mod(m)[/mm].
Auch für Potenzen gibt es Regeln. Aus [mm]a\equiv b mod(m)[/mm] folgt [mm]a^n\equiv b^n mod(m)[/mm].
In deinem Fall bedeutet das z. B.
Aus [mm]123456\equiv 6 mod(10)[/mm] folgt [mm]123456^{789}\equiv 6^{789} mod(m)[/mm].
Du musst also gar nicht [mm] 123456^{789}[/mm] ausrechnen, um davon den Rest bei Teilung durch 10 zu ermitteln.
Es genügt, ersatzweise von dem Term [mm]6^{789}[/mm] den Rest mod 10 zu ermitteln. Das geht relativ leicht:
Untersuche den Rest von 6, von 6*6, von 6*6*6 mod 10 und ziehe deine Schlussfolgerungen.
Untersuche dann, welchen Rest 1999 mod 10 lässt und schließe auf den Rest von [mm]1999^{1999}[/mm].
Da [mm]3535 \equiv 5 mod(10)[/mm] gilt, kannnst du die Betrachtung von [mm]3535^{35}[/mm] durch die Betrachtung von [mm]5^{35}[/mm] ersetzen.
Aus den drei Teilaufgaben bekommst du drei Ergebnisse der Form
[mm]123456^{789}\equiv 6^{789}\equiv a mod(10)[/mm]
[mm]1999^{1999}\equiv 9^{1999}\equiv b mod(10)[/mm]
[mm]3535^{35}\equiv 5^{55}\equiv c mod(10)[/mm] .
Daraus folgt nach der oben genannten Regel für Produkte
[mm]123456^{789}*1999^{1999} * 3553^{35}\equiv a*b*cmod(10)[/mm].
Gruß Abakus
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