Kongruenzabbildung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Di 06.01.2009 | | Autor: | tut-self |
| Aufgabe | Definiert diese Matrix eine Kongruenzabbildung des [mm] \IR^n:
[/mm]
[mm] $A=xx^T [/mm] + [mm] yy^T$ [/mm] für [mm] x,y\in \IR^n [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] = 1 und $x^Ty=0$ ? |
Damit sie eine Kongruenzabbildung definiert, müssen ja die Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis bilden, damit die Winkel und Lägen durch die Abbildung erhalten bleiben. Aber wie kann man das bei dieser Matrix überprüfen?
Ich habe es mal für [mm] A\in\IR^2 [/mm] aufgeschrieben, dann sieht die Matrix so aus:
[mm] \pmat{ x_{1}^2+y_{1}^2 & x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} \\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & x_{2}^2+y_{2}^2 }
[/mm]
hier komm ich aber nicht weiter...
wär super, wenn jemand mir da helfen kann,
lg
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mi 07.01.2009 | | Autor: | fred97 |
A ist genau dann eine Kongruenzabbildung, wenn
[mm] A^{T}A [/mm] = [mm] AA^{T} [/mm] = I ist.
Jetzt rechne doch einfach mal !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 07.01.2009 | | Autor: | tut-self |
ok, also ich komm dann auf folgendes Ergebnis:
[mm] (xx^T [/mm] + [mm] yy^T)^T [/mm] = [mm] (xx^T)^T [/mm] + [mm] (yy^T)^T [/mm] = [mm] xx^T [/mm] + [mm] yy^T
[/mm]
also ist [mm] A=A^T.
[/mm]
außerdem gilt:
[mm] (xx^T [/mm] + [mm] yy^T)*(xx^T [/mm] + [mm] yy^T) [/mm] = [mm] xx^Txx^T [/mm] + [mm] xx^Tyy^T [/mm] + [mm] yy^Txx^T [/mm] + [mm] yy^Tyy^T [/mm] = [mm] xx^T [/mm] + 0 + 0 + [mm] yy^T [/mm] = [mm] xx^T [/mm] + [mm] yy^T
[/mm]
[mm] \Rightarrow A=A^T= [/mm] I und die Behauptung ist gezeigt.
Was ich nicht ganz verstehe: warum ist A eine Kongruenzabbildung, wenn [mm] A=A^T=I [/mm] gilt? Ich kannte bis jetzt nur die Vorgehensweise über die Orthonormalbasis.
Danke für die Hilfe,
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 07.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok, also ich komm dann auf folgendes Ergebnis:
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> [mm](xx^T[/mm] + [mm]yy^T)^T[/mm] = [mm](xx^T)^T[/mm] + [mm](yy^T)^T[/mm] = [mm]xx^T[/mm] + [mm]yy^T[/mm]
>
> also ist [mm]A=A^T.[/mm]
> außerdem gilt:
> [mm](xx^T[/mm] + [mm]yy^T)*(xx^T[/mm] + [mm]yy^T)[/mm] = [mm]xx^Txx^T[/mm] + [mm]xx^Tyy^T[/mm] +
> [mm]yy^Txx^T[/mm] + [mm]yy^Tyy^T[/mm] = [mm]xx^T[/mm] + 0 + 0 + [mm]yy^T[/mm] = [mm]xx^T[/mm] + [mm]yy^T[/mm]
> [mm]\Rightarrow A=A^T=[/mm] I und die Behauptung ist gezeigt.
Wie kommst Du darauf ????
Es folgt nur:
[mm] AA^T [/mm] = [mm] A^2 [/mm] = [mm] A^{T}A [/mm] = A
A muß nicht invertierbar sein !
Nimm mal den Fall n=3 mit x= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und y = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Berechne nun mal das zugeh. A. Dieses ist nicht invertierbar , also keine Kongruenzabb. !!
FRED
>
> Was ich nicht ganz verstehe: warum ist A eine
> Kongruenzabbildung, wenn [mm]A=A^T=I[/mm] gilt? Ich kannte bis jetzt
> nur die Vorgehensweise über die Orthonormalbasis.
>
> Danke für die Hilfe,
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mi 07.01.2009 | | Autor: | tut-self |
> > [mm](xx^T[/mm] + [mm]yy^T)^T[/mm] = [mm](xx^T)^T[/mm] + [mm](yy^T)^T[/mm] = [mm]xx^T[/mm] + [mm]yy^T[/mm]
> >
> > also ist [mm]A=A^T.[/mm]
bis hier hin stimmts aber, oder?
> > außerdem gilt:
> > [mm](xx^T[/mm] + [mm]yy^T)*(xx^T[/mm] + [mm]yy^T)[/mm] = [mm]xx^Txx^T[/mm] + [mm]xx^Tyy^T[/mm] +
> > [mm]yy^Txx^T[/mm] + [mm]yy^Tyy^T[/mm] = [mm]xx^T[/mm] + 0 + 0 + [mm]yy^T[/mm] = [mm]xx^T[/mm] + [mm]yy^T[/mm]
> > [mm]\Rightarrow A=A^T=[/mm] I und die Behauptung ist gezeigt.
>
>
> Wie kommst Du darauf ????
ich habe einfach ausmultipliziert und dann ausgenutzt, dass x^Tx=1 ist (da die Läge = 1 ist) und bei y ebenso und dass x^Ty=0 ist (laut Definition), da kommt bei mir dieses Ergebnis raus - hab ich da nen Denkfehler drin?
Dein Beispiel leuchtet mir ein, muss also bei mir irgendwas falsch sein...
> Es folgt nur:
>
> [mm]AA^T[/mm] = [mm]A^2[/mm] = [mm]A^{T}A[/mm] = A
>
> A muß nicht invertierbar sein !
aber dann würde in diesem Fall das eine Gegenbeispiel reichen, um zu zeigen, dass es keine Kongruenzabbildung ist, oder?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:10 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Do 08.01.2009 | | Autor: | tut-self |
ok, das mit dem Gegenbeispiel leuchtet mir ein - danke.
Aber mich würde trotzdem interessieren, wo bei mir der Denkfehler lag...
vielleicht kann mir das jemand erklären?
lg, Kathi
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> ok, das mit dem Gegenbeispiel leuchtet mir ein - danke.
> Aber mich würde trotzdem interessieren, wo bei mir der
> Denkfehler lag...
> vielleicht kann mir das jemand erklären?
>
> lg, Kathi
Hallo,
Du hast, wenn ich mich recht entsinne, aus [mm] AA^t=A [/mm] geschlossen, daß [mm] A^t=E [/mm] ist, also stillschweigend mit [mm] A^{-1} [/mm] multipliziert, obgleich nirgendwo gesichert war, daß [mm] A^{-1} [/mm] existiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 14.01.2009 | | Autor: | tut-self |
das wirds gewesen sein, danke.
Ich hab die Vermutung, dass die Matrix allerdings für [mm] \IR^2 [/mm] eine Kongruenztransformation definiert. Stimmt das, und wenn ja wie kann man das beweisen?
lg, Kathi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Im Falle n =2 sieht A so aus
A = $ [mm] \pmat{ x_{1}^2+y_{1}^2 & 0 \\ 0 & x_{2}^2+y_{2}^2 } [/mm] $
Kannst Du nun Deine Vermutung beweisen (oder widerlegen ) ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mi 14.01.2009 | | Autor: | tut-self |
> Im Falle n =2 sieht A so aus
>
> A = [mm]\pmat{ x_{1}^2+y_{1}^2 & 0 \\ 0 & x_{2}^2+y_{2}^2 }[/mm]
>
wie kommst du auf diese Matrix? Wenn ich sie explizit für [mm] \IR^2 [/mm] ausrechne, bekomme ich [mm] A=\pmat{x_{1}^2+y_{1}^2 & x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} \\ x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} & x_{2}^2+y_{2}^2} [/mm] heraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch die Vor.
$ x^Ty=0 $
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:02 Mi 14.01.2009 | | Autor: | tut-self |
aber $x^Ty$ ist doch [mm] x_{1}y_{1} [/mm] + [mm] x_{2}y{2} [/mm] und nicht [mm] x_{1}x_{2}+y_{1}y{2}
[/mm]
oder hab ich mich irgendwo schon früher verrechnet?
> Du hast doch die Vor.
>
> [mm]x^Ty=0[/mm]
>
> FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> aber [mm]x^Ty[/mm] ist doch [mm]x_{1}y_{1}[/mm] + [mm]x_{2}y{2}[/mm] und nicht
> [mm]x_{1}x_{2}+y_{1}y{2}[/mm]
> oder hab ich mich irgendwo schon früher verrechnet?
Du hast recht. Ich habe nicht genau hingesehen. Heute ist nicht mein Tag.
FRED
>
> > Du hast doch die Vor.
> >
> > [mm]x^Ty=0[/mm]
> >
> > FRED
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