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Hallo, nur eine kleine Frage.
Habe hier gerade einen Satz gefunden: Sei f: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] eine Kongruenzabbildung, dann gilt das f Abstandserhaltend ist aber nicht Normerhaltend.
So meine Frage, was ist denn der Unterschied zwischen Abstandserhaltend und Normerhaltend, ist das nicht das gleiche?
Die Norm beschreibt doch auch nur die Länge oder nicht?
Danke für Hilfe.
Gruß
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> Hallo, nur eine kleine Frage.
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> Habe hier gerade einen Satz gefunden: Sei f: [mm]\IR^n \to \IR^n[/mm]
> eine Kongruenzabbildung, dann gilt das f Abstandserhaltend
> ist aber nicht Normerhaltend.
>
> So meine Frage, was ist denn der Unterschied zwischen
> Abstandserhaltend und Normerhaltend, ist das nicht das
> gleiche?
> Die Norm beschreibt doch auch nur die Länge oder nicht?
Hallo,
was hast du denn genau gelesen?
Nehmen wir als Kongruenzabbildung mal die Spiegelung an der Geraden in Richtung [mm] \vektor{2\\1}.
[/mm]
Welches ist das Bild von [mm] \vektor{1\\0}?
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{\bruch{3}{5}\\\bruch{4}{5}}.
[/mm]
Die euklidische Norm, die Länge des Vektors, ist erhalten, die Maximumnorm vorher und hinterher ist verschieden.
Gruß v. Angela
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Hi.
hmm, ich habe das leider noch nicht so verstanden, als was der Unterschied zwischen Abstand und Norm ist. Ist Abstand nicht der minimale Abstand zwischen zwei Punkten??? und Norm einfach die Länge von Vektoren?
> was hast du denn genau gelesen?
wie meinst du das? habe das gelesen, was ich da hingeschrieben hatte. Diesen Satz meine ich.
> Nehmen wir als Kongruenzabbildung mal die Spiegelung an der Geraden in Richtung $ [mm] \vektor{2\\1}. [/mm] $
> Welches ist das Bild von $ [mm] \vektor{1\\0}? [/mm] $
> Es ist $ [mm] \vektor{\bruch{3}{5}\\\bruch{4}{5}}. [/mm] $
Wie kommst du hier auf [mm] \vektor{\bruch{3}{5}\\\bruch{4}{5}}??? [/mm] das habe ich auch nicht verstanden.
Irgendwie finde ich, dass dein Bsp. genau das Gegenteil davon zeigt, was der Satz da besagt, kann das sein? denn du schreibst ja selber.
> Die euklidische Norm, die Länge des Vektors, ist erhalten,
aber
> die Maximumnorm vorher und hinterher ist verschieden.
Ist mit Maximumnorm der Abstand gemeint oder bring ich hier gerade alles durcheinander?
Gruß
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> Hi.
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> hmm, ich habe das leider noch nicht so verstanden, als was
> der Unterschied zwischen Abstand und Norm ist. Ist Abstand
> nicht der minimale Abstand zwischen zwei Punkten??? und
> Norm einfach die Länge von Vektoren?
>
>
> > was hast du denn genau gelesen?
>
> wie meinst du das? habe das gelesen, was ich da
> hingeschrieben hatte. Diesen Satz meine ich.
Hallo,
mich würde die genaue Formulierung interessieren.
>
> > Nehmen wir als Kongruenzabbildung mal die Spiegelung an der
> Geraden in Richtung [mm]\vektor{2\\1}.[/mm]
>
> > Welches ist das Bild von [mm]\vektor{1\\0}?[/mm]
>
> > Es ist [mm]\vektor{\bruch{3}{5}\\\bruch{4}{5}}.[/mm]
>
> Wie kommst du hier auf
> [mm]\vektor{\bruch{3}{5}\\\bruch{4}{5}}???[/mm] das habe ich auch
> nicht verstanden.
Habe ich mich verrechnet? Welchen Punkt bekommst Du?
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> Irgendwie finde ich, dass dein Bsp. genau das Gegenteil
> davon zeigt, was der Satz da besagt, kann das sein? denn du
> schreibst ja selber.
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> > Die euklidische Norm, die Länge des Vektors, ist erhalten,
>
> aber
>
> > die Maximumnorm vorher und hinterher ist verschieden.
>
> Ist mit Maximumnorm der Abstand gemeint oder bring ich hier
> gerade alles durcheinander?
Es ist die euklidische Norm eines Vektors seine Länge.
Aber es gibt noch allerlei andere Normen (nachlesen!!!), und ich habe Dir ein Beispiel dafür genannt, daß die Norm unter einer Kongruenzabbildung nicht unbedingt erhalten bleibt. Die euklidische Norm schon. das ist der Abstand.
Gruß v. Angela
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Hi, nochmal:
> mich würde die genaue Formulierung interessieren.
Also der Satz lautet korrekt:
Sei [mm] f:\IR^n \to \IR^n [/mm] eine Kongruenzabbildung. Dann gilt:
1) f ist Abstandserhaltend, aber NICHT Normerhaltend
2) f ist bijektiv und [mm] f^{-1} [/mm] ist wieder eine Kongruenzabbildung
3) falls g eine weitere Kongruenzabbildung ist, so ist auch f [mm] \circ [/mm] g eine.
So ich hatte halt nur 1) nicht so richtig verstanden.
> Habe ich mich verrechnet? Welchen Punkt bekommst Du?
Ich weiß ja gerade nicht mal wie du das gerechnet hast und wie man so auf das Ergebnis kommt, ich habe nichts.
Gruß
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> Hi, nochmal:
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> > mich würde die genaue Formulierung interessieren.
>
> Also der Satz lautet korrekt:
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> Sei [mm]f:\IR^n \to \IR^n[/mm] eine Kongruenzabbildung. Dann gilt:
>
> 1) f ist Abstandserhaltend, aber NICHT Normerhaltend
Dies hier kann ja nicht exakt richtig sein. Man nehme für $f$ die Identität (die so ziemlich alles "erhält", was sich erhalten lässt). Dann ist $f$ sowohl abstands- als auch normerhaltend. Der Autor dieses "Satzes" kann doch wohl nur gemeint haben: bei Abstanderhaltung braucht Normerhaltung nicht unbedingt zu gelten.
Da bei normierten Räumen der Abstand $d(x,y) := [mm] \parallel x-y\parallel$ [/mm] definiert wird, bedeutet Abstandserhaltung, dass für alle $x$ und $y$ gelten muss [mm] $\parallel f(x)-f(y)\parallel [/mm] = [mm] \parallel x-y\parallel$.
[/mm]
Normerhaltung, andererseits, würde bedeuten, dass für alle $x$ gilt [mm] $\parallel f(x)\parallel =\parallel x\parallel$.
[/mm]
Nun sieht man sehr gut, in welchem Falle aus Abstandserhaltung die Normerhaltung nicht folgt: dies ist genau dann der Fall, wenn [mm] $f(0)\neq [/mm] 0$ ist. Denn wäre $f(0)=0$, dann könnte man aus Abstandserhaltung auf Normerhaltung so schliessen: [mm] $\parallel f(x)\parallel [/mm] = [mm] \parallel f(x)-f(0)\parallel =\parallel x-0\parallel =\parallel x\parallel$.
[/mm]
Im Falle [mm] $f(0)\neq [/mm] 0$ enthält die Kongruenzabbildung eben einen Translationsanteil (Translation um $f(0)$)) - ist also insbesondere keine lineare Abbildung und nicht normerhaltend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Fr 25.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
Danke für nette, ausführliche Erklärung.
Gruß
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