Konforme Abb. durch Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich habe hier noch solch eine Aufgabe vom Typ "konforme Abbildung" von Definitions- zu Wertebereich. Die ist etwas anders als die erste (hierEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
), deswegen wollte ich euch bitten meine Überlegungen zu überprüfen. Ich freue mich auch über Teilantworten!
Also, ich muss zeigen dass f holomorph auf $D:=\{z\in\IC: \mbox{Im}(z) > 0\}$ und bijektiv ist und der Wertebereich der Funktion der offene Einheitskreis.
f ist holomorph, denn:
$\limes_{h\rightarrow 0}\left(\bruch{f(z+h) - f(z)}{h}\right)$
$= \limes_{h\rightarrow 0}\left(\bruch{\bruch{z+h-i}{z+h+i} - \bruch{z-i}{z+i}}{h}\right)$
$= \limes_{h\rightarrow 0}\left(\bruch{\bruch{(z+h-i)*(z+i) - (z-i)*(z+h+i)}{(z+h+i)*(z+i)}{h}\right)$
$= \limes_{h\rightarrow 0}\left(\bruch{\bruch{(z^{2}+i*z+h*z+i*h-i*z+1) - (z^{2}+z*h+z*i-i*z-i*h+1)}{(z+h+i)*(z+i)}{h}\right)$
$= \limes_{h\rightarrow 0}\left(\bruch{\bruch{2*i*h}{(z+h+i)*(z+i)}{h}\right)$
$= \limes_{h\rightarrow 0}\left(\bruch{2*i}{(z+h+i)*(z+i)}\right)$
$= \bruch{2*i}{(z+i)^{2}}$.
D.h. für beliebiges $z \in \IC$ ist die Funktion komplex differenzierbar und damit insbesondere holomorph auf D.
Man kann sicher auch einfacher zeigen, dass f holomorph ist... Welche Gesetze gibt es denn genau für die Verknüpfung von holomorphen Funktionen? Weil dann könnte ich ja sagen: Der Zähler ist als Verknüpfung von identischer und konstanter Funktion holomorph, genauso der Nenner, und wenn es jetzt noch eini entsprechendes Gesetz für Brüche gibt hätte ich es ja auch nachgewiesen.
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
f ist bijektiv:
f ist injektiv, d.h. [mm] f(z_{1}) [/mm] = [mm] f(z_{2}) \Rightarrow z_{1} [/mm] = [mm] z_{2} [/mm] :
[mm] $\bruch{z_{1}-i}{z_{1}+i} [/mm] = [mm] \bruch{z_{2}-i}{z_{2}+i}$ [/mm]
[mm] $\gdw (z_{1}-i)*(z_{2}+i) [/mm] = [mm] (z_{2}-i)*(z_{1}+i)$ [/mm]
[mm] $\gdw z_{1}*z_{2} [/mm] + [mm] i*(z_{1}-z_{2})+1 [/mm] = [mm] z_{1}*z_{2} [/mm] + [mm] i*(z_{2}-z_{1})+1$ [/mm]
[mm] $\gdw z_{1}-z_{2} [/mm] = [mm] z_{2}-z_{1}$ [/mm]
[mm] $\gdw z_{1} [/mm] = [mm] z_{2}$. [/mm]
Surjektiv: Zu jedem [mm] w\in\{w\in\IC:|w| < 1\} [/mm] existiert z sodass f(z) = w: Bildung der Umkehrfunktion:
$w = [mm] \bruch{z-i}{z+i}$ [/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (z+i)*w = z-i$
[mm] $\gdw [/mm] z*(w-1) = -i*(w+1)$
[mm] $\gdw [/mm] z = [mm] i*\bruch{w+1}{1-w}$ [/mm]
Also existiert für jedes w ein solches z.
Hab ich jetzt zuviel gezeigt? Indem ich die Umkehrfunktion bilden kann und diese für alle w ein entsprechendes z liefert, ist doch auch Bijektivität gezeigt?
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 27.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Nun wäre noch zu zeigen, dass der Wertebereich von f wirklich das Innere des Einheitskreises ist. Dafür müsste ich
$|f(z)| = [mm] \left|\bruch{z-i}{z+i}\right| [/mm] < 1$
ist. Ich weiß außerdem noch, dass f stetig ist, weil aus stetigen Funktionen zusammengesetzt. Es ist
[mm] $|f(z)|^{2} [/mm] = [mm] \left|\bruch{z-i}{z+i}\right|^{2} [/mm] = [mm] \bruch{|z-i|^{2}}{|z+i|^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{(z-i)*(\overline{z}+i)}{(z+i)*(\overline{z}-i)} [/mm] = [mm] \bruch{(|z|^{2}+1) + i*(z-\overline{z})}{(|z|^{2}+1) + i*(\overline{z}-z)}.$ [/mm]
Und wegen [mm] $\mbox{Im}(z) [/mm] > 0$ ist [mm] $\mbox{Im}(\overline{z}) [/mm] < 0$, also
[mm] $\mbox{Im}(z-\overline{z}) [/mm] > 0$ und [mm] $\mbox{Im}(\overline{z}-z) [/mm] < 0$
und dann
[mm] $i*(z-\overline{z}) [/mm] < 0$ und [mm] $i*(\overline{z}-z) [/mm] > 0$. Also wird im Zähler etwas abgezogen und im Nenner etwas addiert [mm] (z\not=0 [/mm] wegen [mm] \mbox{Im}(z) [/mm] > 0), folglich ist
[mm] $\bruch{(|z|^{2}+1) + i*(z-\overline{z})}{(|z|^{2}+1) + i*(\overline{z}-z)} [/mm] < 1$.
Ich finde den Nachweis nicht besonders toll. Gibt es da bessere Möglichkeiten?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 27.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 27.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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