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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:10 Fr 21.07.2006 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | a) Es sei u: [mm] \IR \to \IR [/mm] mindestens sechsmal stetig differenzierbar. Für festes t [mm] \in \IR [/mm] zeige man:
u´´´´(t) = [mm] \bruch{u(t+2h) - 4u(t+h)+6u(t)-4u(t-h)+u(t-2h)}{h^{4}} [/mm] + [mm] O(h^{2}) [/mm]
Hierzu kann man die Taylorentwicklungen von u(t [mm] \pm [/mm] h) und u(t [mm] \pm [/mm] 2h) heranziehen.
Folgendes Randwertproblem soll nun auf zwei verschiedene Weisen diskretisiert werden:
y´´´´ - y = 0, y(0) = y(1) = 1, y'(0) = y'(1) = 0.
Hierzu definieren wir mit einer gegebenen Schrittweite h = 1/n für j=-1,0,1,...,n+1 die Stützstellen [mm] t_{j} [/mm] = jh [mm] \in [/mm] [-h, 1+h] und verfahren folgendermaßen:
1) Zum einen ersetzen wir die vierte Ableitung durch die Differenzenformel aus (a) und erhalten so eine Differenzengleichung für die Näherung [mm] u_{j} [/mm] an [mm] y(t_{j}) [/mm] in [mm] t_{1},...,t_{n-1}. [/mm] Als Randbedingungen wählen wir [mm] u_{0} [/mm] = [mm] u_{n} [/mm] = 1, [mm] u_{1} [/mm] = [mm] u_{-1} [/mm] und [mm] u_{n+1} [/mm] = [mm] u_{n-1}.
[/mm]
2) Zum anderen schreiben wir die Differentialgleichung vierter Ordnung als vierdimensionales System erster Ordnung in der Form
Y' = MY mit Y = [mm] (Y^{(1)}, Y^{(2)}, Y^{(3)}, Y^{(4)} )^{T} [/mm] = (y, y', y´´, [mm] y´´´)^{T} [/mm] und den Randwerten [mm] Y^{(1)} [/mm] (0) = [mm] Y^{(1)} [/mm] (1) = 1, [mm] Y^{(2)} [/mm] (0) = [mm] Y^{(2)} [/mm] (1) = 0.
Dieses ersetzen wir (gemäß der impliziten Trapezregel) durch das diskrete Schema [mm] U_{j} [/mm] - [mm] U_{j-1} [/mm] = h/2 [mm] M(U_{j} [/mm] + [mm] U_{j-1}) [/mm] mit den Randbedingungen [mm] U_{0}^{(1)} [/mm] = [mm] U_{n}^{(1)} [/mm] = 1, [mm] U_{0}^{(2)} [/mm] = [mm] U_{n}^{(2)} [/mm] = 0.
b) Für [mm] u_{1},...,u_{n-1} [/mm] und [mm] \vektor{ U_{0}^{(3)} \\ U_{0}^{(4)} }, U_{1},...,U_{n-1}, \vektor{ U_{n}^{(3)} \\ U_{n}^{(4)} } [/mm] stelle man jeweils die entsprechenden GLS auf.
c)Bestimmen Sie jeweils für n= 10,20,40,80 (mit Matlab) die Konditionszahlen der beiden GLS aus (b). Wie verhalten sich die Konditionszahlen? Wie erklären Sie sich, dass das eine System wesentlich besser konditioniert ist als das andere? (hinweis: Verwenden Sie bei Bedarf die MATLAB-Funktion toeplitz und kron zum Aufstellen der Matrizen).
d) Lösen Sie (mit Matlab) für beide Diskretisierungen die GLS und vergleichen Sie mit der exakten Lösung von 1). Stellen Sie den Fehler graphisch dar. |
Hallo!
Da zur Lösung von c) und d) die Aufgabenteile a) und b) benötigt werden, habe ich sie mit eingestellt.
Ich kann mit Matlab nicht umgehen und weiß daher nicht, wie ich das Berechnen kann.
Danke für Eure Hilfe.
Nette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 27.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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