Kompositionsreihen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Di 13.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Sei [mm] A:=\IZ[x] [/mm] und I:=(x²-2)*A+42*A.
Bestimmen Sie die Länge und die Kompositionsfaktoren des A-Moduls A/I. |
Hallo zusammen,
leider habe ich noch sehr wenig Kenntnisse über Polynomringe (da ich nie Algebra und Zahlentheorie gehört habe).
Vermute ich richtig, dass [mm] I=(x^2-2)*A+42*A [/mm] das gleiche ist wie [mm] I=((x^2-2)+42)*A=, [/mm] dass also die Funktion [mm] f(x)=x^2-2+42=x^2+40 [/mm] multipliziert wird mit allen a [mm] \in [/mm] A?
Sei [mm] \phi:A->A/I [/mm] die natürliche Abbildung.
Dann impliziert J [mm] \subseteq [/mm] A, J ein Ideal in A, dass [mm] \phi [/mm] (J) ein Ideal in A/I ist, oder?
Wir müssen nun also eine Kompositionsreihe für B:=A/I finden:
[mm] (0)=B_0 \subsetneq [/mm] ... [mm] \subsetneq B_m [/mm] = B.
Wenn B eine Kompositionsreihe besitzt, dann muss es endlich erzeugt sein. Auch können wir die Ideale doch in A finden, und dann mit der natürlichen Abbildung nach B projizieren, oder?
Elemente welche nicht in I liegen wären ja zum Beispiel [mm] x^2+10, x^2+11, [/mm] ..., oder?
Ist dies so ungefähr der richtige Ansatz? Und wie genau muss ich nun weiter vorgehen?
Ich freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Di 13.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Viliehta!
> Sei [mm]A:=\IZ[x][/mm] und I:=(x²-2)*A+42*A.
> Bestimmen Sie die Länge und die Kompositionsfaktoren des
> A-Moduls A/I.
>
> leider habe ich noch sehr wenig Kenntnisse über
> Polynomringe (da ich nie Algebra und Zahlentheorie gehört
> habe).
>
> Vermute ich richtig, dass [mm]I=(x^2-2)*A+42*A[/mm] das gleiche ist
> wie [mm]I=((x^2-2)+42)*A=,[/mm] dass also die Funktion
> [mm]f(x)=x^2-2+42=x^2+40[/mm] multipliziert wird mit allen a [mm]\in[/mm] A?
Nein. $I$ ist das Ideal, welches von [mm] $x^2 [/mm] - 2$ und von $42$ erzeugt wird.
Es sind alle Linearkombinationen von [mm] $x^2 [/mm] - 2$ und $42$ mit Koeffizienten aus [mm] $\IZ[x]$. [/mm] Das Polynom [mm] $x^2 [/mm] + 40$ liegt da zwar drinnen, aber auch [mm] $x^2 [/mm] - 2$ und $42$ selber.
> Sei [mm]\phi:A->A/I[/mm] die natürliche Abbildung.
> Dann impliziert J [mm]\subseteq[/mm] A, J ein Ideal in A, dass [mm]\phi[/mm]
> (J) ein Ideal in A/I ist, oder?
Ja (da [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist). Genauer gilt sogar: die Ideale in $A/I$ entsprechen bijektiv den Idealen in $A$, die $I$ enthalten.
> Wir müssen nun also eine Kompositionsreihe für B:=A/I
> finden:
> [mm](0)=B_0 \subsetneq[/mm] ... [mm]\subsetneq B_m[/mm] = B.
> Wenn B eine Kompositionsreihe besitzt, dann muss es endlich
> erzeugt sein. Auch können wir die Ideale doch in A finden,
Davon gibt es viele  Und du solltest dich auf die Ideale beschraenken, die $I$ umfassen.
> und dann mit der natürlichen Abbildung nach B projizieren,
> oder?
Ja.
> Elemente welche nicht in I liegen wären ja zum Beispiel
> [mm]x^2+10, x^2+11,[/mm] ..., oder?
Warum sollten die in $I$ liegen? Falls beide in $I$ liegen, so liegt auch 1 in $I$, womit $I = A$ ist und damit $B = 0$. Das ist nicht der Fall.
> Ist dies so ungefähr der richtige Ansatz? Und wie genau
> muss ich nun weiter vorgehen?
Ich wuerde mit abstrakten Resultaten arbeiten.
Es ist $A/I [mm] \cong (\IZ/(42))[x]/(x^2 [/mm] - 2)$.
Mit dem chinesischen Restsatz gilt [mm] $\IZ/(42) \cong A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$ [/mm] (was ist $n$ und was sind die [mm] $A_i$?).
[/mm]
Damit bekommst du $A/I [mm] \cong A_1[x]/(x^2-2) \times A_2[x]/(x^2-2) \times \dots \times A_n[x]/(x^2-2)$.
[/mm]
Beachte weiterhin, dass ein Ideal in [mm] $B_1 \times \dots \times B_n$ [/mm] immer die Form [mm] $I_1 \times \dots \times I_n$ [/mm] hat, wobei [mm] $I_i$ [/mm] ein Ideal in [mm] $B_i$ [/mm] ist. Und die Ideale in [mm] $A_i[x]/(x^2-2)$ [/mm] entsprechen den Idealen in [mm] $A_i$, [/mm] die [mm] $(x^2 [/mm] - 2)$ enthalten.
Falls [mm] $A_i$ [/mm] ein Koerper ist, ist [mm] $A_i[x]$ [/mm] ein Hauptidealbereich und du kannst die Ideale in [mm] $A_i[x]/(x^2-2)$
[/mm]
durch die normierten Teiler von [mm] $x^2-2$ [/mm] in [mm] $A_i[x]$ [/mm] beschreiben.
Wenn du das alles kombinierst, solltest du
1. alle Ideale in $B = A/I$ genau beschreiben koennen;
2. die Laenge und dazu eine Kompositionsreihe angeben koennen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 13.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine Antwort. 
Sie hat mir wirklich sehr weitergeholfen!
Zuerst ein paar Kommentare direkt im Text...
> Moin Viliehta!
>
> > Sei [mm]A:=\IZ[x][/mm] und I:=(x²-2)*A+42*A.
> > Bestimmen Sie die Länge und die Kompositionsfaktoren
> des
> > A-Moduls A/I.
> >
> > leider habe ich noch sehr wenig Kenntnisse über
> > Polynomringe (da ich nie Algebra und Zahlentheorie gehört
> > habe).
> >
> > Vermute ich richtig, dass [mm]I=(x^2-2)*A+42*A[/mm] das gleiche ist
> > wie [mm]I=((x^2-2)+42)*A=,[/mm] dass also die Funktion
> > [mm]f(x)=x^2-2+42=x^2+40[/mm] multipliziert wird mit allen a [mm]\in[/mm] A?
>
> Nein. [mm]I[/mm] ist das Ideal, welches von [mm]x^2 - 2[/mm] und von [mm]42[/mm]
> erzeugt wird.
>
> Es sind alle Linearkombinationen von [mm]x^2 - 2[/mm] und [mm]42[/mm] mit
> Koeffizienten aus [mm]\IZ[x][/mm]. Das Polynom [mm]x^2 + 40[/mm] liegt da
> zwar drinnen, aber auch [mm]x^2 - 2[/mm] und [mm]42[/mm] selber.
>
> > Sei [mm]\phi:A->A/I[/mm] die natürliche Abbildung.
> > Dann impliziert J [mm]\subseteq[/mm] A, J ein Ideal in A, dass
> [mm]\phi[/mm]
> > (J) ein Ideal in A/I ist, oder?
>
> Ja (da [mm]\phi[/mm] surjektiv ist). Genauer gilt sogar: die Ideale
> in [mm]A/I[/mm] entsprechen bijektiv den Idealen in [mm]A[/mm], die [mm]I[/mm]
> enthalten.
>
Ich erinnere mich... da war ein Satz in der aller ersten Vorlesung der genau dies besagt hat. Und ich hatte mich damals gefragt ob ein solcher Satz jemals von Nutzen sein kann...
> > Wir müssen nun also eine Kompositionsreihe für B:=A/I
> > finden:
> > [mm](0)=B_0 \subsetneq[/mm] ... [mm]\subsetneq B_m[/mm] = B.
> > Wenn B eine Kompositionsreihe besitzt, dann muss es endlich
> > erzeugt sein. Auch können wir die Ideale doch in A finden,
>
> Davon gibt es viele Und du solltest dich auf die Ideale
> beschraenken, die [mm]I[/mm] umfassen.
>
> > und dann mit der natürlichen Abbildung nach B projizieren,
> > oder?
>
> Ja.
>
> > Elemente welche nicht in I liegen wären ja zum Beispiel
> > [mm]x^2+10, x^2+11,[/mm] ..., oder?
>
> Warum sollten die in [mm]I[/mm] liegen? Falls beide in [mm]I[/mm] liegen, so
> liegt auch 1 in [mm]I[/mm], womit [mm]I = A[/mm] ist und damit [mm]B = 0[/mm]. Das ist
> nicht der Fall.
Ich hatte nicht in I geschrieben...
>
> > Ist dies so ungefähr der richtige Ansatz? Und wie genau
> > muss ich nun weiter vorgehen?
>
> Ich wuerde mit abstrakten Resultaten arbeiten.
>
> Es ist [mm]A/I \cong (\IZ/(42))[x]/(x^2 - 2)[/mm].
>
> Mit dem chinesischen Restsatz gilt [mm]\IZ/(42) \cong A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n[/mm]
> (was ist [mm]n[/mm] und was sind die [mm]A_i[/mm]?).
Endlich werden nun einmal die ganzen Sätze verwendet welche wir in der Vorlesung bewiesen hatten...
> Damit bekommst du [mm]A/I \cong A_1[x]/(x^2-2) \times A_2[x]/(x^2-2) \times \dots \times A_n[x]/(x^2-2)[/mm].
>
> Beachte weiterhin, dass ein Ideal in [mm]B_1 \times \dots \times B_n[/mm]
> immer die Form [mm]I_1 \times \dots \times I_n[/mm] hat, wobei [mm]I_i[/mm]
> ein Ideal in [mm]B_i[/mm] ist. Und die Ideale in [mm]A_i[x]/(x^2-2)[/mm]
> entsprechen den Idealen in [mm]A_i[/mm], die [mm](x^2 - 2)[/mm] enthalten.
>
> Falls [mm]A_i[/mm] ein Koerper ist, ist [mm]A_i[x][/mm] ein Hauptidealbereich
> und du kannst die Ideale in [mm]A_i[x]/(x^2-2)[/mm]
> durch die normierten Teiler von [mm]x^2-2[/mm] in [mm]A_i[x][/mm]
> beschreiben.
>
> Wenn du das alles kombinierst, solltest du
> 1. alle Ideale in [mm]B = A/I[/mm] genau beschreiben koennen;
> 2. die Laenge und dazu eine Kompositionsreihe angeben
> koennen.
>
> LG Felix
>
Also die Zahl n nach welcher du gefragt hattest lautet 3, und die [mm] A_i [/mm] sind: [mm] A_1 [/mm] = [mm] \IZ/(2), A_2 [/mm] = [mm] \IZ/(3) [/mm] und [mm] A_3 [/mm] = [mm] \IZ/(7). [/mm] Die Ideale (2), (3) und (4) sind maximale Ideale da [mm] \IZ [/mm] ein Integritätsbereich ist und es sich um Primzahlen handelt, und somit sind [mm] A_1, A_2 [/mm] und [mm] A_3 [/mm] Körper. Wenn ich es richtig sehe dann enthält [mm] A_1 [/mm] genau zwei Elemente, [mm] A_2 [/mm] drei, und [mm] A_7 [/mm] sieben Elemente.
Die Polynomringe [mm] A_i[x] [/mm] enthalten dann alle Polynome mit diesen wenigen Koeffizienten.
Diese Polynomringe sind Hauptidealbereiche da die [mm] A_i [/mm] Körper sind (laut deiner Aussage).
Aber nun hänge ich fest...
Wie kann ich normierte Teiler von [mm] x^2-2 [/mm] in den Ringen [mm] A_i[x] [/mm] finden?
Die Koeffizienten sind ja Restklassen. [mm] x^2-2 [/mm] hat keine Restklassenkoeffizienten...
Und wie sieht ein normierter Restklassenkoeffizienten aus? Ist es die Einheit?
Angenommen wir haben diese normierten Teiler gefunden. Dann enthalten die Ideale welche von ihnen erzeugt werden natürlich das Ideal [mm] (x^2-2) [/mm] in [mm] A_i[x]. [/mm] Und zu jedem dieser Ideale korrespondiert ein Ideal in [mm] A_i[x]/(x²-2).
[/mm]
Zu guter letzt kann ich auch noch nicht sehen, wie ich die Ideale in B=A/I beschreiben kann. Muss ich einen Isomorphismus hierzu verwenden?
Und konstruiert man nun am besten eine Kompositionsreihe in [mm] A_1[x]/(x²-2) [/mm] x [mm] A_2[x]/(x²-2) [/mm] x [mm] A_3[x]/(x²-2), [/mm] und erhält mit Hilfe des Isomorphismus die Kompositionsreihe in B?
Um eine Kompositionsreihe zu erhalten in [mm] A_1[x]/(x²-2) [/mm] x [mm] A_2[x]/(x²-2) [/mm] x [mm] A_3[x]/(x²-2) [/mm] müsste man dann doch eigentlich nur immer ein neues erzeugendes Element hinzu nehmen, oder? Angefangen von den 0-Idealen bis alle erzeugenden Elemente in den [mm] A_i[x] [/mm] verwendet wurden.
Ich freue mich auf weitere Hinweise.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 13.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Viliehta!
> vielen Dank für Deine Antwort.
> Sie hat mir wirklich sehr weitergeholfen!
Bitte :)
> > Ja (da [mm]\phi[/mm] surjektiv ist). Genauer gilt sogar: die Ideale
> > in [mm]A/I[/mm] entsprechen bijektiv den Idealen in [mm]A[/mm], die [mm]I[/mm]
> > enthalten.
>
> Ich erinnere mich... da war ein Satz in der aller ersten
> Vorlesung der genau dies besagt hat. Und ich hatte mich
> damals gefragt ob ein solcher Satz jemals von Nutzen sein
> kann...
Solche "komischen" abstrakten Saetze wirken am Anfang immer etwas ueberfluessig, aber wenn man mal sieht wie man sie in solchen Faellen wie hier anwenden kann machen sie ploetzlich viel mehr Sinn
> > > Elemente welche nicht in I liegen wären ja zum Beispiel
> > > [mm]x^2+10, x^2+11,[/mm] ..., oder?
> >
> > Warum sollten die in [mm]I[/mm] liegen? Falls beide in [mm]I[/mm] liegen, so
> > liegt auch 1 in [mm]I[/mm], womit [mm]I = A[/mm] ist und damit [mm]B = 0[/mm]. Das ist
> > nicht der Fall.
>
> Ich hatte nicht in I geschrieben...
Ah, sorry, das hatte ich ueberlesen :)
Also wegen dem Argument von mir kann hoechstens eins von beiden in $I$ liegen. Mit etwas Mehraufwand (am besten benutzt man dazu die Abbildung $A [mm] \to (\IZ/2\IZ)[x]/(x^2-2) \times (\IZ/3\IZ)[x]/(x^2-2) \times (\IZ/7\IZ)[x]/(x^2-2)$, [/mm] die gerade Kern $I$ hat. In den Quotienten [mm] $(\IZ/p\IZ)[x]/(x^2-2)$ [/mm] kann man recht einfach testen, ob etwas gleich 0 ist: man macht Polynomdivision mit [mm] $x^2 [/mm] - 2$ (und arbeitet modulo $p$ bei den Koeffizienten), da [mm] $(\IZ/p\IZ)[x]$ [/mm] jeweils ein euklidischer Ring ist.
> > > Ist dies so ungefähr der richtige Ansatz? Und wie genau
> > > muss ich nun weiter vorgehen?
> >
> > Ich wuerde mit abstrakten Resultaten arbeiten.
> >
> > Es ist [mm]A/I \cong (\IZ/(42))[x]/(x^2 - 2)[/mm].
> >
> > Mit dem chinesischen Restsatz gilt [mm]\IZ/(42) \cong A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n[/mm]
> > (was ist [mm]n[/mm] und was sind die [mm]A_i[/mm]?).
>
> Endlich werden nun einmal die ganzen Sätze verwendet
> welche wir in der Vorlesung bewiesen hatten...
Ja, bei diesem Beispiel kann man recht viele davon anwenden
> > Damit bekommst du [mm]A/I \cong A_1[x]/(x^2-2) \times A_2[x]/(x^2-2) \times \dots \times A_n[x]/(x^2-2)[/mm].
>
> >
> > Beachte weiterhin, dass ein Ideal in [mm]B_1 \times \dots \times B_n[/mm]
> > immer die Form [mm]I_1 \times \dots \times I_n[/mm] hat, wobei [mm]I_i[/mm]
> > ein Ideal in [mm]B_i[/mm] ist. Und die Ideale in [mm]A_i[x]/(x^2-2)[/mm]
> > entsprechen den Idealen in [mm]A_i[/mm], die [mm](x^2 - 2)[/mm] enthalten.
> >
> > Falls [mm]A_i[/mm] ein Koerper ist, ist [mm]A_i[x][/mm] ein Hauptidealbereich
> > und du kannst die Ideale in [mm]A_i[x]/(x^2-2)[/mm]
> > durch die normierten Teiler von [mm]x^2-2[/mm] in [mm]A_i[x][/mm]
> > beschreiben.
> >
> > Wenn du das alles kombinierst, solltest du
> > 1. alle Ideale in [mm]B = A/I[/mm] genau beschreiben koennen;
> > 2. die Laenge und dazu eine Kompositionsreihe angeben
> > koennen.
>
>
> Also die Zahl n nach welcher du gefragt hattest lautet 3,
> und die [mm]A_i[/mm] sind: [mm]A_1[/mm] = [mm]\IZ/(2), A_2[/mm] = [mm]\IZ/(3)[/mm] und [mm]A_3[/mm] =
> [mm]\IZ/(7).[/mm] Die Ideale (2), (3) und (4) sind maximale Ideale
Das letzte soll (7) sein, oder?
> da [mm]\IZ[/mm] ein Integritätsbereich ist und es sich um
Sogar ein Hauptidealbereich. Das brauchst du hier, bei einem Integritaetsbereich $R$ folgt aus $p$ prim nur, dass $R/(p)$ ein Integritaetsbereich ist, da $(p)$ zwar ein maximales Hauptideal, aber nicht umbedingt ein maximales Ideal ist.
> Primzahlen handelt, und somit sind [mm]A_1, A_2[/mm] und [mm]A_3[/mm]
> Körper. Wenn ich es richtig sehe dann enthält [mm]A_1[/mm] genau
> zwei Elemente, [mm]A_2[/mm] drei, und [mm]A_7[/mm] sieben Elemente.
Genau.
> Die Polynomringe [mm]A_i[x][/mm] enthalten dann alle Polynome mit
> diesen wenigen Koeffizienten.
> Diese Polynomringe sind Hauptidealbereiche da die [mm]A_i[/mm]
> Körper sind (laut deiner Aussage).
Genau.
> Aber nun hänge ich fest...
>
> Wie kann ich normierte Teiler von [mm]x^2-2[/mm] in den Ringen
> [mm]A_i[x][/mm] finden?
> Die Koeffizienten sind ja Restklassen. [mm]x^2-2[/mm] hat keine
> Restklassenkoeffizienten...
Also mit [mm] $x^2 [/mm] - 2$ in [mm] $(\IZ/p\IZ)[x]$ [/mm] ist das Polynom gemeint, dessen Koeffizient von [mm] $x^2$ [/mm] die Restklasse der 1 ist und dessen konstanter Koeffizient gleich der Restklasse von -2 ist.
> Und wie sieht ein normierter Restklassenkoeffizienten aus?
> Ist es die Einheit?
Ein Polynom heisst normiert, wenn der Leitkoeffizient gleich Eins ist. In [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] ist die Eins die Restklasse der 1 aus [mm] $\IZ$.
[/mm]
In [mm] $(\IZ/2\IZ)[x]$ [/mm] ist etwa [mm] $x^2 [/mm] - 2 = [mm] x^2 [/mm] = x [mm] \cdot [/mm] x$ (da $2 = 0$ ist). Die normierten Teiler sind gerade $1$, $x$ und [mm] $x^2$.
[/mm]
In [mm] $(\IZ/3\IZ)[x]$ [/mm] ist etwa [mm] $x^2 [/mm] - 2 = [mm] x^2 [/mm] + 1$ irreduzibel (da es keine Nullstellen hat und Grad 2 hat); damit sind die normierten Teiler gerade $1$ und [mm] $x^2 [/mm] + 1$.
So, und in [mm] $(\IZ/7\IZ)[x]$ [/mm] darfst du jetzt.
> Angenommen wir haben diese normierten Teiler gefunden. Dann
> enthalten die Ideale welche von ihnen erzeugt werden
> natürlich das Ideal [mm](x^2-2)[/mm] in [mm]A_i[x].[/mm] Und zu jedem dieser
> Ideale korrespondiert ein Ideal in [mm]A_i[x]/(x^2-2).[/mm]
Genau. Ist $f$ ein Teiler von [mm] $x^2 [/mm] - 2$, dann ist $(f)$ ein Ideal, welches [mm] $(x^2 [/mm] - 2)$ enthaelt, und $(f) / [mm] (x^2 [/mm] - 2)$ ist ein Ideal in [mm] $A_i[x] [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] - 2)$.
Im Fall von $i = 1$ hast du drei Ideale in [mm] $A_1[x]/(x^2-2)$, [/mm] und diese bilden eine Kette: es handelt sich um [mm] $(1)/(x^2-2) [/mm] = [mm] A_1[x]/(x^2 [/mm] - 2)$, [mm] $(x)/(x^2 [/mm] - 2) = [mm] (x)/(x^2)$ [/mm] und [mm] $(x^2)/(x^2 [/mm] - 2) = [mm] (x^2-2)/(x^2-2) [/mm] = [mm] (x^2)/(x^2)$.
[/mm]
> Zu guter letzt kann ich auch noch nicht sehen, wie ich die
> Ideale in B=A/I beschreiben kann. Muss ich einen
> Isomorphismus hierzu verwenden?
Genau.
> Und konstruiert man nun am besten eine Kompositionsreihe
> in [mm]A_1[x]/(x²-2)[/mm] x [mm]A_2[x]/(x²-2)[/mm] x [mm]A_3[x]/(x²-2),[/mm] und
> erhält mit Hilfe des Isomorphismus die Kompositionsreihe
> in B?
Exakt.
> Um eine Kompositionsreihe zu erhalten in [mm]A_1[x]/(x²-2)[/mm] x
> [mm]A_2[x]/(x²-2)[/mm] x [mm]A_3[x]/(x²-2)[/mm] müsste man dann doch
> eigentlich nur immer ein neues erzeugendes Element hinzu
> nehmen, oder? Angefangen von den 0-Idealen bis alle
> erzeugenden Elemente in den [mm]A_i[x][/mm] verwendet wurden.
Wie meinst du das?
Ein kleines Beispiel: $R$ habe eine Kompositionsreihe [mm] $I_0 \subsetneqq \dots \subsetneqq I_n$ [/mm] und $S$ habe eine Kompositionsreihe [mm] $J_0 \subsetneqq \dots \subsetneqq J_m$.
[/mm]
Dann ist [mm] $I_0 \times J_0 \subsetneqq I_1 \times J_0 \subsetneqq \dots \subsetneqq I_n \times J_0 \subsetneqq I_n \times J_1 \subsetneqq \dots \subsetneqq I_n \times J_m$ [/mm] eine Kompositionsreihe von $R [mm] \times [/mm] S$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix,
noch einmal vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Sie hat mir wieder sehr weitergeholfen, und insbesondere verstehe ich nun die Restklassen besser.
Es gibt also 3 Ideale in [mm] A_1[x]/(x²-2), [/mm] 2 in [mm] A_2[x]/(x²-2) [/mm] und auch zwei in [mm] A_3[x]/(x²-2), [/mm] da x²-2 natürlich auch irreduzierbar ist in [mm] A_3[x]. [/mm]
Restklassen müsste es ja vier Stück geben in [mm] A_1[x]/(x²-2), [/mm] eine für 1, eine für x, eine für x+1 und eine für 0.
Ideale in [mm] A_1[x]/(x²-2):
[/mm]
Das erste Ideal müsste dann ja alle Polynome mit Koeffizienten 0 oder 1 enthalten, welche keinen 1 und keinen x-Term besitzten. Das zweite Ideal alle welche keinen konstanten 1-Term besitzen, und das dritte Ideal alle Polynome mit Koeffizienten 1 oder 0.
In [mm] A_2[x]/(x²-2) [/mm] und [mm] A_3[x]/(x²-2) [/mm] gibt es natürlich viel mehr Restklassen, aber nur zwei Ideale.
Die Kompositionsreihe für [mm] A_1[x]/(x²-2) [/mm] x [mm] A_2[x]/(x²-2) [/mm] x [mm] A_3[x]/(x²-2) [/mm] müsste dann ja 5 Elemente haben wenn man nach Deinem Schema vorgeht.
Jetzt zum Isomorphismus.
Die einzige Möglichkeit welche mir einfällt ist wie folgt:
Sei [mm] (p_1 [/mm] + (x²-2), [mm] p_2 [/mm] + (x²-2), [mm] p_3 [/mm] + (x²-2)) in [mm] A_1[x]/(x²-2) [/mm] x [mm] A_2[x]/(x²-2) [/mm] x [mm] A_3[x]/(x²-2). [/mm]
Dann ordnen wir ihm das Polynom [mm] p_1 [/mm] * [mm] p_2 *p_3 [/mm] +I in A/I zu.
Nun müsste man ja noch zeigen dass es ein wirklich ein Ringhomomorphismus ist, injektiv und surjektiv ist, oder?
Und beschreiben könnte man die Kompositionsfaktoren in A/I dann ja durch die Klassen der Polynome in welche sich die Polynome faktorisieren lassen.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mi 14.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Viliehta!
> Sie hat mir wieder sehr weitergeholfen, und insbesondere
> verstehe ich nun die Restklassen besser.
>
>
> Es gibt also 3 Ideale in [mm]A_1[x]/(x²-2),[/mm] 2 in
> [mm]A_2[x]/(x²-2)[/mm] und auch zwei in [mm]A_3[x]/(x²-2),[/mm] da x²-2
> natürlich auch irreduzierbar ist in [mm]A_3[x].[/mm]
Das letzte stimmt nicht ganz: die Restklassen von 3 und 4 sind Nullstellen von [mm] $x^2 [/mm] - 2$, da [mm] $3^2 [/mm] - 2 [mm] \equiv [/mm] 9 - 2 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{7}$ [/mm] ist. Damit gibt es vier normierte Teiler.
> Restklassen müsste es ja vier Stück geben in
> [mm]A_1[x]/(x²-2),[/mm] eine für 1, eine für x, eine für x+1 und
> eine für 0.
Genau.
> Ideale in [mm]A_1[x]/(x²-2):[/mm]
> Das erste Ideal müsste dann ja alle Polynome mit
> Koeffizienten 0 oder 1 enthalten, welche keinen 1 und
> keinen x-Term besitzten.
Also die Restklassen davon Das ist genau eine Restklasse, und zwar die der 0.
> Das zweite Ideal alle welche
> keinen konstanten 1-Term besitzen, und das dritte Ideal
> alle Polynome mit Koeffizienten 1 oder 0.
Genau. (Also wieder die Restklassen davon.)
Anders aufgeschrieben: du hast die (Haupt-)Ideale [mm] $(\overline{0})$, $(\overline{x})$, $(\overline{1})$.
[/mm]
> In [mm]A_2[x]/(x²-2)[/mm] und [mm]A_3[x]/(x²-2)[/mm] gibt es natürlich
> viel mehr Restklassen, aber nur zwei Ideale.
Genau.
> Die Kompositionsreihe für [mm]A_1[x]/(x²-2)[/mm] x [mm]A_2[x]/(x²-2)[/mm]
> x [mm]A_3[x]/(x²-2)[/mm] müsste dann ja 5 Elemente haben wenn man
> nach Deinem Schema vorgeht.
Wenn [mm] $A_3[x]/(x^2-2)$ [/mm] genau zwei Ideale haette, dann ja. Da es vier Ideale hat, und man nur drei als Kette anordnen kann, hat man also sechs Elemente in der Kompositionsreihe.
> Jetzt zum Isomorphismus.
> Die einzige Möglichkeit welche mir einfällt ist wie
> folgt:
> Sei [mm](p_1[/mm] + (x²-2), [mm]p_2[/mm] + (x²-2), [mm]p_3[/mm] + (x²-2)) in
> [mm]A_1[x]/(x²-2)[/mm] x [mm]A_2[x]/(x²-2)[/mm] x [mm]A_3[x]/(x²-2).[/mm]
> Dann ordnen wir ihm das Polynom [mm]p_1[/mm] * [mm]p_2 *p_3[/mm] +I in A/I
> zu.
Nein, so einfach geht das nicht. (Das ist kein Homomorphismus, und nebenbei nichtmals wohldefiniert.) Du musst wie im chinesischen Restsatz vorgehen.
> Nun müsste man ja noch zeigen dass es ein wirklich ein
> Ringhomomorphismus ist, injektiv und surjektiv ist, oder?
Nimm doch einfach den Isomorphismus, den der chin. Restsatz liefert. Dann brauchst du nichts explizit zu beweisen.
> Und beschreiben könnte man die Kompositionsfaktoren in
> A/I dann ja durch die Klassen der Polynome in welche sich
> die Polynome faktorisieren lassen.
Nicht ganz: die Kompositionsfaktoren der Reihe [mm] $H_0 \subsetneqq \dots \subsetneqq H_n$ [/mm] sind ja die Quotienten [mm] $H_n/H_{n-1}$, [/mm] die du bis auf Isomorphie angeben sollst.
Dazu musst du nicht die Kompositionsreihe in $B = A/I$ kennen; es reicht aus, dass du sie in etwas kennst das isomorph zu $B$ ist (hier hast du ja ein Produkt von Ringen, welches isomorph zu $B$ ist). Dort kannst du dann die Quotienten bestimmen und moeglichst einfach schreiben.
Dazu beachte noch, dass $(R [mm] \times [/mm] S [mm] \times [/mm] T) / (I [mm] \times [/mm] J [mm] \times [/mm] K) [mm] \cong [/mm] (R/I) [mm] \times [/mm] (S/J) [mm] \times [/mm] (T/K)$ ist. Damit (und dann mit dem zweiten Isomorphiesatz) kannst du die Faktoren recht einfach und sehr explizit bestimmen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Ich habe nun weiter an der Aufgabe gearbeitet.
Zuerst zum Isomorphismus zwischen A/I und [mm] A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2).
[/mm]
Sei [mm] p+(x^2-2) \in [/mm] A/I, p [mm] \in [/mm] A(42), [mm] p=\summe_{i=0}^{n}a_i*x^i.
[/mm]
Dann definieren wir eine Abbildung [mm] \phi [/mm] durch:
[mm] \phi:A/(42)->A/(2) [/mm] x A/(3) x A/(7), [mm] \phi(p+I):=(q_1+(x^2-2),q_2+(x^2-2),q_3+(x^2-2)), q_1=\summe_{i=0}^{n} (a_i [/mm] mod [mm] (2))*x^i, q_2=\summe_{i=0}^{n} (a_i [/mm] mod [mm] (3))*x^i, q_3=\summe_{i=0}^{n} (a_i [/mm] mod [mm] (7))*x^i.
[/mm]
Dies müsste der Isomorphismus sein welchen der chinesischen Restsatz liefert, oder?
Du hast schon gesagt dass es nicht nötig ist die Ideale in A/I zu kennen. Nur aber zum Verständnis möchte ich diese trotzdem bestimmen. Das 0 Ideal in A/I ist ja isomorph zum 0x0x0 Ideal in [mm] A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2). [/mm] Also müsste es alle Restklassen enthalten welche Polynome p (p wie oben) darstellen deren mod(2)-Polynom [mm] q_1 [/mm] keinen 0 und keinen 1 Term hat, deren mod(3)-Polynom [mm] q_2 [/mm] mindestens vom Grad [mm] \geq [/mm] 2 ist (abgesehen das 0 Polynom) und deren mod(7)-Polynom [mm] q_3 [/mm] ebenfalls vom Grad [mm] \geq [/mm] 2 ist. Stimmt das so?
Eine andere Frage betrifft noch den chinesischen Restsatz selber. Wir hatten in der Vorlesung die folgende Version:
Sei A ein Ring, [mm] I_1, [/mm] ... [mm] I_n [/mm] Ideale in A. Dann gilt
1: [mm] I_1*...*I_n [/mm] = [mm] I_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap I_n [/mm] wenn [mm] I_k, I_r [/mm] teilerfremd sind für alle k [mm] \neq [/mm] r.
2: Der kanonische Ringhomomorphismus [mm] \phi:R\to R/I_1 \times [/mm] ... [mm] \times R/I_n, \phi(x)=(x+I_1, [/mm] ..., [mm] x+I_n) [/mm] ist surjektiv [mm] \gdw I_k, I_r [/mm] teilerfremd sind für alle k [mm] \neq [/mm] r.
3: [mm] \phi [/mm] ist injektiv [mm] \gdw I_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap I_n [/mm] = (0).
In Wikipedia (![[]](/images/popup.gif) Click) steht eine andere Version, welche ich verwendet habe. Kann man mit Hilfe der Version der Vorlesung die Version von Wikipedia herleiten?
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Sa 17.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Viliehta!
> Zuerst zum Isomorphismus zwischen A/I und
> [mm]A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2).[/mm]
>
> Sei [mm]p+(x^2-2) \in[/mm] A/I, p [mm]\in[/mm] A(42),
> [mm]p=\summe_{i=0}^{n}a_i*x^i.[/mm]
> Dann definieren wir eine Abbildung [mm]\phi[/mm] durch:
> [mm]\phi:A/(42)->A/(2)[/mm] x A/(3) x A/(7),
> [mm]\phi(p+I):=(q_1+(x^2-2),q_2+(x^2-2),q_3+(x^2-2)), q_1=\summe_{i=0}^{n} (a_i[/mm]
> mod [mm](2))*x^i, q_2=\summe_{i=0}^{n} (a_i[/mm] mod [mm](3))*x^i, q_3=\summe_{i=0}^{n} (a_i[/mm]
> mod [mm](7))*x^i.[/mm]
>
> Dies müsste der Isomorphismus sein welchen der
> chinesischen Restsatz liefert, oder?
Ja.
> Du hast schon gesagt dass es nicht nötig ist die Ideale in
> A/I zu kennen. Nur aber zum Verständnis möchte ich diese
> trotzdem bestimmen. Das 0 Ideal in A/I ist ja isomorph zum
> 0x0x0 Ideal in [mm]A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2).[/mm]
Genauer: das 0-Ideal in $A/I$ wird durch [mm] $\phi$ [/mm] auf das Ideal $0 [mm] \times [/mm] 0 [mm] \times [/mm] 0$ abgebildet.
Damit sind sie zwar auch isomorph, aber das hier ist eine staerkere Aussage
> Also müsste es alle Restklassen enthalten welche Polynome
> p (p wie oben) darstellen deren mod(2)-Polynom [mm]q_1[/mm] keinen 0
> und keinen 1 Term hat, deren mod(3)-Polynom [mm]q_2[/mm] mindestens
> vom Grad [mm]\geq[/mm] 2 ist (abgesehen das 0 Polynom) und deren
> mod(7)-Polynom [mm]q_3[/mm] ebenfalls vom Grad [mm]\geq[/mm] 2 ist. Stimmt
> das so?
Ja. (Wobei du die Falle [mm] $q_2 [/mm] = 0$ und/oder [mm] $q_3 [/mm] = 0$ nicht ignorieren darfst.)
> Eine andere Frage betrifft noch den chinesischen Restsatz
> selber. Wir hatten in der Vorlesung die folgende Version:
> Sei A ein Ring, [mm]I_1,[/mm] ... [mm]I_n[/mm] Ideale in A. Dann gilt
> 1: [mm]I_1*...*I_n[/mm] = [mm]I_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap I_n[/mm] wenn [mm]I_k, I_r[/mm]
> teilerfremd sind für alle k [mm]\neq[/mm] r.
> 2: Der kanonische Ringhomomorphismus [mm]\phi:R\to R/I_1 \times[/mm]
> ... [mm]\times R/I_n, \phi(x)=(x+I_1,[/mm] ..., [mm]x+I_n)[/mm] ist surjektiv
> [mm]\gdw I_k, I_r[/mm] teilerfremd sind für alle k [mm]\neq[/mm] r.
> 3: [mm]\phi[/mm] ist injektiv [mm]\gdw I_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap I_n[/mm] = (0).
Steht da nicht auch noch dabei, dass [mm] $\ker \phi [/mm] = [mm] I_1 \cap \dots \cap I_n$ [/mm] ist? Das zusammen mit der Bedingung an die Surjektivitaet ist das, was man so braucht.
> In Wikipedia
> (Click)
> steht eine andere Version, welche ich verwendet habe. Kann
> man mit Hilfe der Version der Vorlesung die Version von
> Wikipedia herleiten?
Du hast hier keinen Hauptidealbereich (in $A$ ist $(2, X)$ kein Hauptideal). Du musst schon die allgemeine Variante verwenden, und die aus Wikipedia folgt aus deiner etwas allgemeiner formulierten.
Hier hast du die Ideale [mm] $I_1 [/mm] = (2)$, [mm] $I_2 [/mm] = (3)$, [mm] $I_3 [/mm] = (7)$. Da 2, 3, 7 in [mm] $\IZ$ [/mm] schon paarweise teilerfremd sind kannst du Relationen $1 = 2 x + 3 y$, ... finden, womit [mm] $I_1 [/mm] + [mm] I_2 [/mm] = A$, ... ist. Damit sind die Ideale auch paarweise teilerfremd.
Weiterhin ist [mm] $I_1 I_2 I_3 [/mm] = (2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 7) = (42)$. (Das gilt immer bei Hauptidealen in kommutativen Ringen mit Eins.)
Wenn du das mit deiner Version vom chinesischen Restsatz verwendest, bekommst du das was du brauchst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Vielen Dank für Deine Antwort (welche ich wieder mit Freude gelesen habe ).
Welche Polynome sind nun genau in [mm] (x^2-2) \subseteq A_2[x] [/mm] enthalten?
Alle Polynome mit mindestens Grad 2 (einschließlich 0)?
Oder weniger?
Du hattest geschrieben dass 3 und 4 Nullstellen sind von [mm] x^2-2 [/mm] in [mm] A_3[x]. [/mm] Dann müsste ja auch gelten: [mm] (x^2-2)=(x-3)*(x-4), [/mm] und [mm] (x-3)*(x-4)=x^2-7x+12=x^2+12 [/mm] = [mm] x^2-2 [/mm] mod(7). Und ebenso hier: Was genau ist der Inhalt von diesen beiden Idealen? Ich sehe das leider noch nicht... Wenn ich dies weiß dann komm ich bestimmt auch darauf was genau für Elemente in [mm] A_2[x]/(x^2-2) A_3[x]/(x^2-2) [/mm] sind.
Und schließlich noch die Frage:
Der Kompositionsfaktor [mm] (x)/(x^2)\Big/(x^2)/(x^2) [/mm] der Kompositionsreihe in [mm] A_1[x]/(x^2-2), [/mm] müsste ja auch Restklassen von Polynomen mit Grad [mm] \geq [/mm] 3 enthalten, oder?
Zu dem chinesischen Rest werde ich später nochmal kommen. Aber [mm] ker(\phi)=I_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap I_n [/mm] stand nicht dabei. Im Beweis von 3) steht aber: Die Behauptung folgt sofort aus [mm] ker(\phi)=I_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap I_n.
[/mm]
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Sa 17.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Viliehta!
> Vielen Dank für Deine Antwort (welche ich wieder mit
> Freude gelesen habe ).
Bitte :)
(in dem Fall macht das Antworten auch gleich mehr Spass ;) )
> Welche Polynome sind nun genau in [mm](x^2-2) \subseteq A_2[x][/mm]
> enthalten?
Alle Vielfache von [mm] $x^2 [/mm] - 2$ in [mm] $A_2[x]$.
[/mm]
> Alle Polynome mit mindestens Grad 2 (einschließlich 0)?
Alle Polynome in [mm] $(x^2 [/mm] - 2)$ haben -- bis auf das Nullpolynom -- Grad [mm] $\ge [/mm] 2$. Aber es gibt genuegend Polynome von Grad [mm] $\ge [/mm] 2$, welche nicht in [mm] $(x^2 [/mm] - 2)$ liegen; ein Beispiel ist etwa [mm] $x^2 [/mm] - 1$.
> Du hattest geschrieben dass 3 und 4 Nullstellen sind von
> [mm]x^2-2[/mm] in [mm]A_3[x].[/mm] Dann müsste ja auch gelten:
> [mm](x^2-2)=(x-3)*(x-4),[/mm]
Ja.
> und [mm](x-3)*(x-4)=x^2-7x+12=x^2+12[/mm] =
> [mm]x^2-2[/mm] mod(7).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Falls du mit Polynomen und nicht mit Idealen rechnest.)
> Und ebenso hier: Was genau ist der Inhalt von
> diesen beiden Idealen? Ich sehe das leider noch nicht...
Ebenso wieder alle Vielfachen des Polynoms. Oder anders gesagt, alle Polynome, welche ebenfalls in 3 und 4 eine Nullstelle haben.
> Wenn ich dies weiß dann komm ich bestimmt auch darauf was
> genau für Elemente in [mm]A_2[x]/(x^2-2) A_3[x]/(x^2-2)[/mm] sind.
Ist $R$ ein euklidischer Ring und $I = (f)$ ein Ideal in $R$ mit $f [mm] \neq [/mm] 0$, so ist $R/I = [mm] \{ g + (f) \mid \deg g < \deg f \}$ [/mm] (wobei [mm] $\deg$ [/mm] die Gradabbildung ist). Ist $R = k[x]$ fuer einen Koerper $k$, und ist [mm] $\deg$ [/mm] die gewoehnliche Gradabbildung, so gibt es zu jeder Restklasse $r + I$ in $R/I$ genau ein Polynom $g [mm] \in [/mm] k[x]$ mit [mm] $\deg [/mm] g < [mm] \deg [/mm] f$ und $g + I = r + I$.
In diesem Fall kann man $R/I$ eigentlich nicht expliziter beschreiben. (Es sei denn man kann $f$ als Produkt von teilerfremden Elementen schreiben: dann kann man das ganze mit dem chin. Restsatz noch zerlegen.)
Auf diese Aufgabe angewendet kannst du damit [mm] $A_2[x]/(x^2-2)$ [/mm] und [mm] $A_3[x]/(x^2-2)$ [/mm] besser beschreiben. Und [mm] $A_3[x]/(x^2-2)$ [/mm] kannst du wieder mit dem chin. Restsatz als Produkt zweier Ringe schreiben (die sich dann noch etwas einfacher beschreiben lassen), da [mm] $x^2-2$ [/mm] in [mm] $A_3[x]$ [/mm] als Produkt zweier Linearfaktoren geschrieben werden kann (wie du das oben gemacht hast).
> Und schließlich noch die Frage:
> Der Kompositionsfaktor [mm](x)/(x^2)\Big/(x^2)/(x^2)[/mm] der
> Kompositionsreihe in [mm]A_1[x]/(x^2-2),[/mm] müsste ja auch
> Restklassen von Polynomen mit Grad [mm]\geq[/mm] 3 enthalten, oder?
Das sind Restklassen von Restklassen, und nicht sehr anschaulich.
Du kannst das ganze mit dem 3. Isomorphiesatz schreiben als $(x) / [mm] (x^2)$, [/mm] und du kannst einen expliziten Isomorphismus zu $(1) / (x) = [mm] A_1[x] [/mm] / (x) [mm] \cong A_1$ [/mm] angeben.
> Zu dem chinesischen Rest werde ich später nochmal kommen.
> Aber [mm]ker(\phi)=I_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap I_n[/mm] stand nicht dabei.
In dem Fall ist das ganze etwas unguenstig formuliert... Man sieht es zwar sofort von der Definition von [mm] $\phi$, [/mm] aber man sollte sowas der Vollstaendigkeit halber hinzuschreiben.
> Im
> Beweis von 3) steht aber: Die Behauptung folgt sofort aus
> [mm]ker(\phi)=I_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap I_n.[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 18.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix ,
so langsam wird nun alles klarer, und ich kann das große Bild schon etwas besser sehen.
Ich hatte im vorletzten Post einen Isomorphismus für $ A/I$ und [mm] $A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2) [/mm] $ angegeben. Und zwar wie folgt:
Sei $ [mm] p+(x^2-2) \in [/mm] $ A/I, p $ [mm] \in [/mm] $ A(42), $ [mm] p=\summe_{i=0}^{n}a_i\cdot{}x^i. [/mm] $
Dann definieren wir eine Abbildung $ [mm] \phi [/mm] $ durch:
$ [mm] \phi:A/(42)->A/(2) [/mm] $ x A/(3) x A/(7), $ [mm] \phi(p+I):=(q_1+(x^2-2),q_2+(x^2-2),q_3+(x^2-2)), q_1=\summe_{i=0}^{n} (a_i [/mm] $ mod $ [mm] (2))\cdot{}x^i, q_2=\summe_{i=0}^{n} (a_i [/mm] $ mod $ [mm] (3))\cdot{}x^i, q_3=\summe_{i=0}^{n} (a_i [/mm] $ mod $ [mm] (7))\cdot{}x^i. [/mm] $
Eigentlich ist es ja ein Isomorphismus zwischen [mm] A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2) [/mm] und [mm] A/(42)[x]\Big/(x^2+2). [/mm] Und um genau zu sein müsste man dann noch einen Isomorphismus zwischen [mm] A/(42)[x]\Big/(x^2+2) [/mm] und A/I angeben, oder?
Sei also p+I = p [mm] +(x^2-2)+(42) [/mm] in A/I, p in [mm] A=\IZ[x], [/mm] p = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_i*x^i, a_i \in \IZ. [/mm] Dann definieren wie [mm] \psi [/mm] durch:
[mm] \psi:A/I-> A/(42)[x]\Big/(x^+2), \psi(p+I)=p [/mm] mod (42) + [mm] (x^2-2), [/mm] wobei p mod(42) := [mm] \summe_{i=0}^{n}a_i [/mm] mod [mm] (42)*x^i.
[/mm]
Dank Deiner Anmerkungen ist es mir nun auch klar was für Ideale in den Ringen [mm] A_2[x] [/mm] und [mm] A_3[x] [/mm] sind. Dadurch ist ja auch der Inhalt der Ideale in den Restklassenringen [mm] A_i[x]/(x^2-2) [/mm] klar. Auch wenn es schwer ist die Elemente alle genau anzugeben. Und mit Hilfe der Isomorphismen sind dann auch die Ideale in A/I klar. Um die Kompositionsreihen in [mm] A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2) [/mm] hatten wir uns ja schon am Anfang gekümmert. Und damit folgen ja nun auch die Kompositionsreihen in A/I, und somit auch die Kompositionsfaktoren. In der Aufgabenstellung heißt es ja, dass man die Kompositionsfaktoren der Kompositionsreihe in A/I angeben soll. Aber es müsste ja ausreichen hier auf die Isomorphismen zu verweisen, oder? Es ist ja ein wenig mühsam die ganzen Ideale, bzw Kompositionsfaktoren nochmals in A/I zu beschreiben.
Was den chinesischen Restsatz betrifft, so bin ich damit leider viel weiter gekommen. Die Version in unserer Vorlesung handelt ja über die Beziehung zwischen einem Ring A und dem Ring [mm] A/I_1 \times [/mm] ... [mm] \times A/I_n. [/mm] Aber die Version für Hauptidealringe stellt ja einen Isomorphismus zwischen [mm] A/I_1 \times [/mm] ... [mm] \times A/I_n [/mm] und [mm] A/I_1*...*I_n [/mm] her.
Wahrscheinlich wird man die Beziehung welche die allgemeine Variante liefert verwenden können um die spezielle zu herzuleiten, aber ich sehe leider noch nicht wie. Über weitere Hilfe würde ich mich deshalb sehr freuen.
Viele Grüße,
Vilietha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 18.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Viliehta!
> so langsam wird nun alles klarer, und ich kann das große
> Bild schon etwas besser sehen.
Schoen :)
> Ich hatte im vorletzten Post einen Isomorphismus für [mm]A/I[/mm]
> und [mm]A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2)[/mm]
> angegeben. Und zwar wie folgt:
>
> Sei [mm]p+(x^2-2) \in[/mm] A/I, p [mm]\in[/mm] A(42),
> [mm]p=\summe_{i=0}^{n}a_i\cdot{}x^i.[/mm]
> Dann definieren wir eine Abbildung [mm]\phi[/mm] durch:
> [mm]\phi:A/(42)->A/(2)[/mm] x A/(3) x A/(7),
> [mm]\phi(p+I):=(q_1+(x^2-2),q_2+(x^2-2),q_3+(x^2-2)), q_1=\summe_{i=0}^{n} (a_i[/mm]
> mod [mm](2))\cdot{}x^i, q_2=\summe_{i=0}^{n} (a_i[/mm] mod
> [mm](3))\cdot{}x^i, q_3=\summe_{i=0}^{n} (a_i[/mm] mod
> [mm](7))\cdot{}x^i.[/mm]
Genau.
> Eigentlich ist es ja ein Isomorphismus zwischen
> [mm]A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2)[/mm] und
> [mm]A/(42)[x]\Big/(x^2+2).[/mm] Und um genau zu sein müsste man
> dann noch einen Isomorphismus zwischen
> [mm]A/(42)[x]\Big/(x^2+2)[/mm] und A/I angeben, oder?
Ja
> Sei also p+I = p [mm]+(x^2-2)+(42)[/mm] in A/I, p in [mm]A=\IZ[x],[/mm] p =
> [mm]\summe_{i=0}^{n}a_i*x^i, a_i \in \IZ.[/mm] Dann definieren wie
> [mm]\psi[/mm] durch:
> [mm]\psi:A/I-> A/(42)[x]\Big/(x^2-2), \psi(p+I)=p[/mm] mod (42) +
> [mm](x^2-2),[/mm] wobei p mod(42) := [mm]\summe_{i=0}^{n}a_i[/mm] mod
> [mm](42)*x^i.[/mm]
Genau.
Allgemein kannst du dir auch ueberlegen:
Ist $R$ ein Ring, $I$ ein Ideal in $R$, und ist $S$ eine Teilmenge von $R[x]$ (geht auch genauso mit mehr als einer Unbestimmten), so bekommst du einen Isomorphismus $R[x]/(I + (S)) [mm] \to [/mm] (R/I)[x]/(S)$.
In diesem Fall ist $R = [mm] \IZ$, [/mm] $I = (42)$, $S = [mm] \{ x^2 - 2 \}$.
[/mm]
> Dank Deiner Anmerkungen ist es mir nun auch klar was für
> Ideale in den Ringen [mm]A_2[x][/mm] und [mm]A_3[x][/mm] sind. Dadurch ist ja
> auch der Inhalt der Ideale in den Restklassenringen
> [mm]A_i[x]/(x^2-2)[/mm] klar. Auch wenn es schwer ist die Elemente
> alle genau anzugeben.
Weil es schwer ist (bzw. unschoen), sucht man halt Isomorphismen zu etwas schoenerem
> Und mit Hilfe der Isomorphismen sind
> dann auch die Ideale in A/I klar. Um die
> Kompositionsreihen in [mm]A_1[x]/(x^2)\times A_2[x]/(x^2-2)\times A_3[x]/(x^2-2)[/mm]
> hatten wir uns ja schon am Anfang gekümmert. Und damit
> folgen ja nun auch die Kompositionsreihen in A/I, und somit
> auch die Kompositionsfaktoren. In der Aufgabenstellung
> heißt es ja, dass man die Kompositionsfaktoren der
> Kompositionsreihe in A/I angeben soll. Aber es müsste ja
> ausreichen hier auf die Isomorphismen zu verweisen, oder?
Ja. Normalerweise meint man damit sowieso nur, dass man etwas angeben soll was isomorph zu den Kompositionsfaktoren ist.
> Es ist ja ein wenig mühsam die ganzen Ideale, bzw
> Kompositionsfaktoren nochmals in A/I zu beschreiben.
Nicht nur "ein wenig"
> Was den chinesischen Restsatz betrifft, so bin ich damit
> leider viel weiter gekommen. Die Version in unserer
> Vorlesung handelt ja über die Beziehung zwischen einem
> Ring A und dem Ring [mm]A/I_1 \times[/mm] ... [mm]\times A/I_n.[/mm] Aber die
> Version für Hauptidealringe stellt ja einen Isomorphismus
> zwischen [mm]A/I_1 \times[/mm] ... [mm]\times A/I_n[/mm] und [mm]A/I_1*...*I_n[/mm]
> her.
"Deine" Version vom chin. Restsatz liefert dir einen surjektiven Ringhom. $A [mm] \to A/I_1 \times \dots \times A/I_n$ [/mm] mit Kern [mm] $I_1 \cdots I_n$. [/mm] (Auch wenn der letzte Schritt nicht explizit in der Aussage steht.)
Wenn du jetzt den Homomorphiesatz darauf loslaesst, bekommst du einen Isomorphismus [mm] $A/(I_1 \cdots I_n) \cong A/I_1 \times \dots \times A/I_n$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mo 19.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Viliehta!
> wieder vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Bitte :)
> Ich habe den Homomorphiesatz nun auf die allgemeine Version
> des chinesischen Restsatzes losgelassen, und tatsächlich
> ist dann ein Isomorphismus erschienen. Diesen Satz und die
> drei Isomorphisätze habe ich nun auch endlich in mein
> Standard-Toolkit aufgenommen.
Gut Gerade der Homomorphiesatz/erste Isomorphiesatz taucht andauernd wieder auf und ist sehr, sehr praktisch. Der dritte Isomorphiesatz taucht auch gerne mal in versteckter Form auf und ist dann unglaublich hilfreich/praktisch...
> Der Homomorphiesatz müsste
> ja das selbe sein wie der erste Isomorphiesatz. (Diesen
> hatten wir auch in der ersten Vorlesung... und ich hatte
> gar nicht mehr an ihn gedacht).
Ja, das ist gut moeglich. Da herrscht etwas Chaos; manche bezeichnen den Homomorphiesatz auch als ersten Isomorphiesatz und haben dann noch einen zweiten und dritten Isomorphiesatz, manche verwenden die Bezeichnung Homomorphiesatz nie und reden immer nur von den drei Isomorphiesaetzen, und manch andere reden vom Homomorphiesatz und dem ersten und zweiten Isomorphiesatz, und meinen damit den Homomorphiesatz und den zweiten und dritten Isomorphiesatz den andere meinen... (Beispiel: hier vs. hier; im Englischen hab ich das Wort "Homomorphiesatz" noch nie gehoert, aber die gleiche Nummerierung wie im Englischen ist mir im Deutschen oft begegnet, aber eben auch die andere Nummerierung...)
> Ich muss sagen dies war wirklich eine sehr schöne Aufgabe,
> bei der man sehr viel lernen konnte (wenn man noch keine
> von kommutativer Algebra hat so wie ich, und wenn man einen
> so hilfreichen Korrektor hat wie Dich... ).
Ja, bei der Aufgabe kam echt sehr viel vor. Ich glaub die muss ich mir merken
LG Felix
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