Komposition von Relationen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Di 17.04.2012 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | Seien X eine Menge und R1, R2 ⊆ X × X zwei Relationen. Dann ist das Relationenprodukt
definiert durch
R1 ◦ R2 = {(x, y) | ∃z ∈ X.xR1z ∧ zR2y}
Sind R1 und R2 symmetrisch, zeigen Sie, dass dann auch R1 o R2 symmetrisch ist. |
Sei (x,y) [mm] \in [/mm] R1 o R2
=> Es existiert z [mm] \in [/mm] X mit xR1z und zR2y
wegen der Symmetrie von R1 und R2 folgt
=> zR1x und yR2z
wegen der Kommutativität von und
=> yR2z und zR1x
Definition von R1 o R2 bzw. eben R2 o R1
=> (y,x) [mm] \in [/mm] R2 o R1
rauskommen sollte doch aber sowas hier (y,x) [mm] \in [/mm] R1 o R2 oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Di 17.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo msg08,
die Aussage aus der Aufgabenstellung ist in der Tat falsch, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt:
[mm] $X=\{1,2\}$
[/mm]
[mm] $R_1=\{(1,2),(2,1)\}$
[/mm]
[mm] $R_2=\{(2,2)\}$
[/mm]
(Es gilt [mm] $R_1\circ R_2=\{(1,2)\}$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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