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Komposition Mehrdimensional: Einsetzungsschema
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Mi 29.01.2014
Autor: Kamehahame

Aufgabe 1
Gegeben ist:

f:  [mm] R^2 [/mm] → [mm] R^2 [/mm] mit f(x,y) = (2x, xy)

g: [mm] R^2 [/mm] → [mm] R^3 [/mm] mit g(x,y) = [mm] (0,0,x^2) [/mm]


Was ist (g o f) (x,y) also g(f(x,y)) ?

Einsetzungsschema:

f(x,y)    =   (  2x  ,   xy  )

                 ↓     ↓

               g(   x  ,     y   )  =  [mm] (0,0,x^2) [/mm]

So dann folgt: ( g o f ) (x,y) = g(f(x,y)) = (0,0, [mm] (2x)^2) [/mm] = [mm] (0,0,4x^2) [/mm]








Aufgabe 2
Gegeben ist

g: [mm] R^2 [/mm] → [mm] R^3 [/mm] mit g(x,y) = [mm] (0,0,x^2) [/mm]

h: [mm] R^3 [/mm] → [mm] R^2 [/mm] mit h(x,y,z) = (x+y, [mm] xz^2) [/mm]

Was ist ( h o g ) (x,y,z) also h(g(x,y))

Einsetzungsschema:

g(x,y)    =   (   0  ,   0  ,  [mm] x^2) [/mm]

                   ↓      ↓     ↓

                h(   x   ,  y   ,  z)  = [mm] (x+y,xz^2) [/mm]

So dann folgt: ( h o g ) (x,y) = h(g(x,y)) = (0+0, [mm] 0*(x^2)^2) [/mm] = (0,0)








Hallo,

ich kann das Einsetzungsschema zwar aufstellen, verstehe aber die Folgerung nicht, d.h. wie kommt man auf Lösung 1: [mm] (0,0,4x^2) [/mm] und Lösung 2: (0,0)

Ich erkenne einfach das Muster nicht...

Infos Allgemein. Liegt eine Komposition g o f zweier Abbildungen vor, so ist die Abbildungsvorschrift dieser Komposition dadurch definiert, dass der vektor x der Wert bzw. Vektor g(f(x)) zugeordnet wird. Das bedeutet, dass in der Abbildungsvorschrift von g die erste Variable durch die erste Komponentenfunktion von f, die zweite Variable durch die zweite Komponentenfunktion von f usw. ersetzt wird, um die Abbildungsvorschrift von g o f zu erhalten.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

http://www.gute-mathe-fragen.de/87579/komposition-mehrdimensionaler-abbildungen-einsetzungsschema


http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=535900

        
Bezug
Komposition Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:24 Do 30.01.2014
Autor: fred97

Zu Aufgabe 1:

Sei (x,y) [mm] \in \IR^2. [/mm] Dann ist

  f(x,y) = (2x, xy) .

Wir setzen (vorübergehend): u:=2x und v:=xy. Dann ist f(x,y)=(u,v), also


[mm] g(f(x,y))=g(u,v)=(0,0,u^2)=(0,0,(2x)^2)=(0,0,4x^2) [/mm]

FRED

Bezug
        
Bezug
Komposition Mehrdimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Do 30.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

zu 2)

[mm]h(g(x,y))=h(\red 0,\blue 0,\green{x^2})=(\red 0+\blue 0,\red 0\cdot{}(\green{x^2})^2)=(0,0)[/mm]

Gruß

schachuzipus

Bezug
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